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压轴大题高分练6.函数与导数(B组)压轴大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考高分根基!1.已知函数f(x)=ln x+a(x-1)2(aR).(1) 当a0时,求函数y=f(x)的单调区间.(2) 当x1时,f(x)a(x2-1)-ex+e恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=ln x+a(x-1)2(aR),函数定义域为(0,+),所以f(x)=1x+2a(x-1)=2ax2-2ax+1x.令g(x)=2ax2-2ax+1,由a0,从而g(x)=0有两个不同的解.令f(x)=0,则x1=12-121-2a0,当x(0,x2)时,f(x)0;当x(x2,+)时,f(x)0,所以(x)在1,+)上单调递增,即h(x)在1,+)上单调递增,所以h(x)h(1)=1+e-2a.当a1+e2时,h(x)0,此时,h(x)=ln x+ex-2ax+2a-e在1,+)上单调递增,而h(1)=0.所以h(x)0恒成立,满足题意.当a1+e2时,h(1)=1+e-2a0,根据零点存在性定理可知,存在x0(1,ln 2a),使得h(x0)=0.当x(1,x0)时,h(x)0,h(x)单调递减,有h(x)1,则f(x)0,若x1,则f(x)000g(x)单调递增极大值单调递减故x=1时,g(x)max=g(1)=1-a,又x0时,f(x)0,g(x)-,x+时f(x)0,g(x)-a,所以数形结合可知方程-xex=lnx+1x-a有唯一实根时,-1e=1-a或-a0,此时a的取值范围为a|a=1+1e或a0.
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