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第3讲导数的简单应用1.定积分01(2x+ex)dx的值为()A.e+2B.e+1C.eD.e-12.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.94e2B.2e2C.e2D.e223.若函数f(x)=ax3+ln(x+2)在点(-1,-a)处取得极值,则a=()A.-1B.1C.-13D.134.设函数f(x)=2(x2-x)ln x-x2+2x,则函数f(x)的单调递减区间为()A.0,12B.12,1C.(1,+)D.(0,+)5.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f (x),且函数y=(1-x)f (x)的图象如图所示,则下列结论一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)6.若函数f(x)=cos x+2xf 6,则f-3与f6的大小关系是()A.f-3=f6B.f-3f6C.f-30,函数f(x)=a2x3-3ax2+2,g(x)=-3ax+3.(1)若a=1,求函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间(-1,1)上的极值.13.(2018石家庄模拟)已知函数f(x)=x2-aln x.(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)若函数g(x)=f(x)+2x在1,+)上为单调函数,求实数a的取值范围.14.设f(x)=lnx-2ax+2a,g(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,aR.(1)求f(x)的单调区间;(2)f(x)=g(x),已知g(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.答案全解全析1.C01(2x+ex)dx=(x2+ex)01=1+e1-1=e.故选C.2.D由题意,可得y=ex,则所求切线的斜率k=e2,所求切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2x-e2.S=121e2=e22.3.Cf (x)=3ax2+1x+2.由题意,得f (-1)=3a+1=0.解得a=-13.故选C.4.B由题意可得,f(x)的定义域为(0,+),f (x)=2(2x-1)ln x+2(x2-x)1x-2x+2=(4x-2)ln x.由f (x)0,可得(4x-2)ln x0,lnx0,或4x-20.解得12x1.所以函数f(x)的单调递减区间为12,1.故选B.5.D当x0,由(1-x)f (x)0f (x)0,函数f(x)为增函数;当-2x0,由(1-x)f (x)0f (x)0,函数f(x)为减函数;当1x2时,1-x0f (x)2时,1-x0,由(1-x)f (x)0,函数f(x)为增函数.所以函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2).故选D.6.C依题意,得f (x)=-sin x+2f 6,f 6=-sin6+2f 6.f 6=12.易知f (x)=-sin x+10,f(x)=cos x+x是R上的增函数.又-36,f-30,解得a2或a-1.9.答案2+43解析-12f(x)dx=-111-x2dx+12(x2-1)dx=1212+13x3-x12=2+43.10.答案43,+解析由题意知,f (x)=x+2a-1x0在13,2上恒成立,即2a-x+1x在13,2上恒成立,当x13,2时,-x+1xmax=83,2a83,即a43.11.解析(1)f (x)=ex-2ax,由已知,可得f (1)=e-2a=b, f(1)=e-a=b+1.解得a=1,b=e-2.(2)令g(x)=f (x)=ex-2x,则g(x)=ex-2.令g(x)=0,得x=ln 2.故当0xln 2时,g(x)0,g(x)在0,ln 2)上单调递减;当ln 20,g(x)在(ln 2,1上单调递增.所以g(x)min=g(ln 2)=2-2ln 20.所以f(x)在0,1上单调递增.所以f(x)max=f(1)=e-1.12.解析(1)由f(x)=a2x3-3ax2+2,得f (x)=3a2x2-6ax.当a=1时,f (1)=-3,f(1)=0,所以f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程是y=-3x+3.(2)令f (x)=0,得x1=0,x2=2a.当02a2时,x变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表:x(-1,0)00,2a2a2a,1f (x)+0-0+f(x)极大值极小值故f(x)的极大值是f(0)=2;极小值是f2a=2-4a.当2a1,即0a2时,f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,所以f(x)的极大值为f(0)=2,无极小值.13.解析(1)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+),当a=2时,f (x)=2x-2x=2(x+1)(x-1)x,由f (x)0,得0x0,得x1,故f(x)在(1,+)上单调递增.所以函数f(x)的最小值为f(1)=1.(2)由题意,得g(x)=2x-ax-2x2,函数g(x)在1,+)上为单调函数.若g(x)为1,+)上的单调递增函数,则g(x)0在1,+)上恒成立,即a-2x+2x2在1,+)上恒成立.设(x)=-2x+2x2.(x)在1,+)上单调递增,(x)min=(1)=0.a0.若g(x)为1,+)上的单调递减函数,则g(x)0在1,+)上恒成立,即a-2x+2x2在1,+)上恒成立,由知(x)=-2x+2x2在1,+)上单调递增,且当x趋向于无穷大时,(x)趋向于无穷大,(x)无最大值.故g(x)在1,+)上不可能为单调递减函数.综上所述,a的取值范围为(-,0.14.解析(1)由f(x)=ln x-2ax+2a,得f (x)=1x-2a=1-2axx.当a0,x(0,+)时,f (x)0,f(x)单调递增.当a0,x0,12a时,f (x)0,函数f(x)单调递增;x12a,+时,f (x)0时,f(x)的单调增区间为0,12a,单调减区间为12a,+.(2)由(1)知,f(1)=0.当a0时,f(x)单调递增,所以,当x(0,1)时,f(x)0,g(x)单调递增.所以g(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当0a1,由(1)知,f(x)在0,12a内单调递增,可得当x(0,1)时,f(x)0.所以g(x)在(0,1)内单调递减,在1,12a内单调递增,所以g(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当a=12时,12a=1,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减,所以,当x(0,+)时,f(x)0,g(x)单调递减,不合题意.当a12时,012a0,g(x)单调递增,当x(1,+)时,f(x)0,g(x)单调递减.所以g(x)在x=1处取极大值,符合题意.综上,实数a的取值范围为12,+.
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