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1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.在日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是(B)(A)一个棱柱中挖去一个棱柱(B)一个棱柱中挖去一个圆柱(C)一个圆柱中挖去一个棱锥(D)一个棱台中挖去一个圆柱解析:一个六棱柱挖去一个等高的圆柱,选B.2.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是(C)(A)30 (B)45 (C)60 (D)90解析:设圆锥底面半径为r,母线长为l,依条件则有2r=l,如图,所以=,即ASO=30,因此圆锥顶角为60.3.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面可能的图形是(C)(A) (B)(C)(D)解析:当截面平行于正方体的一个侧面时得,当截面过正方体的体对角线时得,当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得,但无论如何都不能截出.4.若圆柱的轴截面是一个正方形,其面积为4S,则它的一个底面面积是(C)(A)4S (B)4S (C)S (D)2S解析:因为圆柱的轴截面的一边是底面直径,另一邻边为圆柱的高,所以应满足=2r(r为底面圆半径),所以r=,故底面面积为S.5.已知A,B,C是球O上的三点,AB=10,AC=6,BC=8,球O的半径等于13,则球心O到ABC所在小圆的距离为.解析:因为AB=10,AC=6,BC=8,所以ABC为直角三角形且AB为点A,B,C所在小圆O1的直径,所以r=5,如图,所以d2=R2-r2=132-52=122,所以d=12.答案:126.水平桌面上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面的距离是.解析:5个球心组成一个正四棱锥,这个正四棱锥的底面边长为4R,侧棱长为3R,求得它的高为R,所以小球的球心到水平桌面的距离是3R.答案:3R7.图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是(D)(A)(1)(2)(B)(1)(3)(C)(1)(4)(D)(1)(5)解析:当截面不过旋转轴时,截面图形是(5),当截面过旋转轴时,截面图形是(1).故选D.8.(2017山西忻州一中高一测试)一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm,若两底面圆心的连线长为12 cm,则这个圆台的母线长为 cm.解析:如图,过点A作ACOB,交OB于点C.在RtABC中,AC=12 cm,BC=8-3=5(cm).所以AB=13(cm).答案:139.湖水结冰时, 一个球被冻在冰面上,取出后(未弄破冰)在冰面上留下一个直径为24 cm,深8 cm的空穴,则该球的半径为cm.解析:设球的半径为R,根据题意知截面圆的半径r=12 cm,球心与截面圆的距离为d=R-8.由截面的性质得r2+d2=R2,即122+(R-8)2=R2,从而可得R=13 cm.答案:1310.圆锥母线长为8,底面半径为2,A为底面圆周上一点,从A出发将绳子绕圆锥侧面一周后,再回到A,则绳长最短为.解析:如图所示,将圆锥沿过A点的母线展开,设A点展开后另一点为A点,则绳子最短长度为线段AA的长度.因为底面半径为2,所以弧长=22=4.因为展开图对应的扇形半径R=8,所以圆心角=,所以AA=8.答案:811.从一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于圆柱底面的平面去截它,求所得截面的面积.解:截面为一个圆环,圆环的大圆半径为R,小圆半径为l.所以截面圆环的面积为R2-l2=(R2-l2).
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