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南昌二中20182019学年度上学期期中考试高二数学(理科)试卷一、选择题（每小题5分，共60分。）1. 抛物线y212x的准线方程是( )Ax3 Bx3 Cy3 Dy32. 当时，方程所表示的曲线是（ ）A焦点在轴的椭圆 B焦点在轴的双曲线C焦点在轴的椭圆 D焦点在轴的双曲线3.若以双曲线（）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（ ）AB1CD24.抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（ ）A（1，1）B C D（2，4）5.圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则( )A. B4 C2 D6.M是椭圆上一动点，F1和F2是左右焦点，由F2向的外角平分线作垂线，垂足为N，则N点的轨迹为( )A.直线 B圆 C双曲线 D抛物线7.设椭圆（）的离心率为，右焦点F（c，0），方的两个根分别为x1，x2，则点P（x1，x2）在( )A.圆内 B圆上 C圆外 D以上三种都有可能8.过抛物线（）的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若，且，则抛物线的方程为（ ）A B C D9.已知圆，是圆上任意一点，过点向轴作垂线，垂足为，点在线段上，且，则点的轨迹方程是（ ）A B C D 10.分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点若为等边三角形，则的面积为（ ）A. 8 B. C. D. 1611.在直角坐标系中,抛物线的焦点为,准线为，点是准线上任一点，直线交抛物线于，两点，若，则的面积( )A.4 B. C. D. 12.设双曲线（，）的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于，两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若（，），则该双曲线的离心率为（ ）ABCD 二、填空题（每小题5分，共20分。）13.点关于直线的对称点是_.14.已知双曲线（a0，b0）的两条渐近线均和圆 相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为_.15.设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则b的值为_.16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形若，双曲线的离心率的取值范围为则该椭圆的离心率的取值范围是 3、 解答题（共70分） 17. （本小题10分） 已知的三个顶点(4,0），(8,10），(0,6）.（1）求AC边上的高所在的直线方程；（2）求过点且与点距离相等的直线方程。18. （本小题12分）在极坐标系中，极点为，已知曲线： 与曲线： 交于不同的两点，（1）求的值；（2）求过点且与直线平行的直线的极坐标方程19. （本小题12分）已知动圆与定圆内切，与直线相切. （1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）若是上述轨迹上一点，求到点距离的最小值20. （本小题12分）设直线l：y=2x1与双曲线（，）相交于A、B两个不同的点，且（O为原点）（1）判断是否为定值，并说明理由；（2）当双曲线离心率时，求双曲线实轴长的取值范围 21. （本小题12分）为抛物线的焦点，过点的直线与交于、两点，的准线与轴的交点为，动点满足（1）求点的轨迹方程；（2）当四边形的面积最小时，求直线的方程22. （本小题12分）如图，已知椭圆（）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线、的斜率分别为、，证明为定值；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由南昌二中20182019学年度上学期期中考试高二数学(理科)试卷参考答案1-12 B D B A D B A A C C D A13. 14.15 16 16.17.解：（1） .5分 （2） .10分18.解：（1），又，可得,，圆心(0,0)到直线的距离为 .6分（2）曲线的斜率为1，过点且与曲线平行的直线的直角坐标方程为，直线的极坐标为，即 .12分19.解：（）设动圆的圆心，动圆与定圆内切，与直线相切，化简得 .5分（）设，则， .8分当时，时上式取得最小值，即取得最小值；当时，时上式取得最小值，即取得最小值 .11分 .12分20.【解答】解：（）为定值5理由如下：y=2x1与双曲线联立，可得（b24a2）x2+4a2xa2a2b2=0，（b2a），即有=16a4+4（b24a2）（a2+a2b2）0，化为1+b24a20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，由（O为原点），可得x1x2+y1y2=0，即有x1x2+（2x11）（2x21）=5x1x22（x1+x2）+1=0，即52+1=0，化为5a2b2+a2b2=0，即有=5，为定值 .6分（）由双曲线离心率时，即为，即有2a2c23a2，由c2=a2+b2，可得a2b22a2，即，由=5，可得5，化简可得a，则双曲线实轴长的取值范围为（0，） .12分21.解：（I）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），E（1，0）设直线l的方程为xmy1=0联立方程组，消元得：y24my4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），则y1+y2=4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2AB的中点坐标为M（2m2+1，2m）=+=2，M为EP的中点，即y2=4x12点P的轨迹方程为y2=4x12 .6分（II）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=4|AB|=4（m2+1）E到直线l：xmy1=0的距离d=，SABE=|AB|d=4，=+，四边形EAPB是平行四边形，平行四边形EAPB的面积S=2SABE=8当m=0时，S取得最小值8此时直线l的方程为x1=0.12分22.解：（）由题意知，椭圆离心率为=，得，又2a+2c=，所以可解得，c=2，所以b2=a2c2=4，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（2，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为 .2分（）设点P（x0，y0），则k1=，k2=，k1k2=，又点P（x0，y0）在双曲线上，即y02=x024，k1k2=1 .6分（）假设存在常数，使得得|AB|+|CD|=|AB|CD|恒成立，则由（II）知k1k2=1，设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x2），由方程组消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k28=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由韦达定理得，AB=，同理可得CD=，|AB|+|CD|=|AB|CD|，=，存在常数=，使得|AB|+|CD|=|AB|CD|恒成立 .12分
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