资源描述
习题课导数的应用学习目标1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用.知识点一函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0单调递增f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.知识点三函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的求法1.求函数yf(x)在(a，b)内的极值.2.将函数yf(x)的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.函数yxlnx在上是减函数.()2.若函数yaxlnx在内单调递增，则a的取值范围为(2，).()3.设函数f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则c2.()4.函数f(x)x(1x2)在0,1上的最大值为.()类型一导数与函数单调性例1已知函数f(x)lnx，g(x)f(x)ax2bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的单调性解(1)依题意得g(x)lnxax2bx，则g(x)2axb.由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴得g(1)12ab0，b2a1.(2)由(1)得g(x).函数g(x)的定义域为(0，)，当a0时，g(x).由g(x)0得0x1，由g(x)0得x1，即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当a0时，令g(x)0得x1或x，若1，即a，由g(x)0得x1或0x，由g(x)0得x1，即函数g(x)在，(1，)上单调递增，在上单调递减；若1，即0a，由g(x)0得x或0x1，由g(x)0得1x，即函数g(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0，即函数g(x)在(0，)上单调递增.综上可得，当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x，则当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增.例2已知函数f(x)x3ax1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的单调性解(1)f(x)3x2a.当a0时，f(x)0，所以f(x)在(，)上为增函数.当a0时，令3x2a0得x；当x或x时，f(x)0；当x时，f(x)0.因此f(x)在，上为增函数，在上为减函数.综上可知，当a0时，f(x)在R上为增函数；当a0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数.(2)因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立.因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即a的取值范围为(，0.引申探究1.函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，)上为增函数，求a的取值范围.解因为f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上为增函数，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立，所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范围为(，3.2.函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求a的取值范围.解由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在(1,1)上恒成立.因为1x1，所以3x23，所以a3.即当a的取值范围为3，)时，f(x)在(1,1)上为减函数.3.函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(1,1)，求a的值.解由例题可知，f(x)的单调递减区间为，1，即a3.4.函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围.解f(x)x3ax1，f(x)3x2a.由f(x)0，得x(a0).f(x)在区间(1,1)上不单调，01，得0a3，即a的取值范围为(0,3).反思与感悟f(x)为(a，b)上的增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.跟踪训练2已知函数f(x)x2ax在上是增函数，求a的取值范围.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的单调性解因为f(x)x2ax在上是增函数，故f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立.令h(x)2x，则h(x)2，当x时，h(x)0，则h(x)为减函数，所以h(x)h3.所以a3.故a的取值范围是3，).类型二利用导数研究函数的极值与最值例3已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的极值与最值解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在点P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上，f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.因为f(t)f(0)t33t2t2(t3)0，所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，则g(x)3x26x3x(x2).当x1,2)时，g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，则解得2c0.即实数c的取值范围为(2,0.反思与感悟(1)求极值时一般需确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.跟踪训练3已知函数f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的图象关于原点成中心对称.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间及极值；(3)当x1,5时，求函数的最值.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的极值与最值解(1)函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb，于是2(a1)x22b0恒成立，解得a1，b0.(2)由(1)得f(x)x348x，f(x)3x2483(x4)(x4)，令f(x)0，得x14，x24；令f(x)0，得4x0，得x4.f(x)的单调递减区间为(4,4)，单调递增区间为(，4)和(4，)，f(x)极大值f(4)128，f(x)极小值f(4)128.(3)由(2)知，函数在1,4上单调递减，在4,5上单调递增，则f(4)128，f(1)47，f(5)115，函数的最大值为47，最小值为128.1.已知函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为_.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的最值答案(0,1)解析f(x)3x23a3(x2a)，显然a0，f(x)3(x)(x)，由已知条件01，解得0a1.2.已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，则此函数在2,2上的最小值为_.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的单调性、极值与最值答案37解析f(x)6x212x6x(x2)，f(x)在x0,2上单调递减，在2,0上单调递增，f(x)的最大值为f(0)m3，f(x)的最小值为f(2)1624337.3.已知函数f(x)在(2，)内单调递减，则实数a的取值范围为_.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的单调性答案解析因为f(x)，所以f(x).由函数f(x)在(2，)内单调递减，知f(x)0在(2，)内恒成立，即0在(2，)内恒成立，因此a.当a时，f(x)，此时函数f(x)为常函数，故a不符合题意，舍去.故实数a的取值范围为.4.已知a，b为正实数，函数f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值为4，则f(x)在1,0上的最小值为_.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的单调性、极值与最值答案解析因为函数f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值为4，所以函数g(x)ax3bx在0,1上的最大值为2，而g(x)是奇函数，所以g(x)在1,0上的最小值为2，故f(x)在1,0上的最小值为221.5.已知aR，且函数yexax(xR)有大于零的极值点，则实数a的取值范围为_.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的极值与最值答案(，1)解析因为yexax，所以yexa.令y0，即exa0，则exa，即xln(a)，又因为x0，所以a1，即a1.导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.一、填空题1.函数yexlnx的值域为_.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的极值与最值答案2，)解析由ye(x0)知函数在上单调递减，在上单调递增，且函数连续、无上界，从而yexlnx的值域为2，).2.函数y在定义域内的最大值、最小值分别是_.考点题点答案2，2解析函数的定义域为R.令y0，得x1.当x变化时，y，y随x的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)y00y极小值极大值当x趋近于负无穷大时，y趋近于0；当x趋近于正无穷大时，y趋近于0.由上表可知，当x1时，y取极小值也是最小值2；当x1时，y取极大值也是最大值2.3.设f(x)4x3mx2(m3)xn(m，nR)是R上的单调增函数，则m的值为_.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的单调性答案6解析因为f(x)是R上的单调增函数，故f(x)12x22mx(m3)0在xR上恒成立，于是4m248(m3)0，即(m6)20，得m6.4.已知函数f(x)2f(1)lnxx，则f(x)的极大值为_.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的极值答案2ln22解析f(x)1，令x1得，f(1)2f(1)1，f(1)1，所以f(x)2lnxx，f(x)1，f(x)1的零点是x2，所以当0x0，f(x)是增函数，当x2时，f(x)0，f(x)是减函数，所以x2是f(x)的极大值点，极大值为f(2)2ln22.5.已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴相切于点(1,0)，则函数f(x)的极大值为_，极小值为_.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的极值答案0解析f(x)3x22pxq，f(1)32pq0.又f(1)1pq0，由解得p2，q1，f(x)x32x2x，f(x)3x24x1.令3x24x10，解得x1，x21.当x0；当x1时，f(x)1时，f(x)0，当x时，f(x)有极大值为；当x1时，f(x)有极小值为0.6.若函数ya(x3x)的单调递增区间是，则实数a的取值范围为_.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的单调性答案(0，)解析ya(3x21)，令y0，得x.由函数ya(x3x)的单调递增区间是，得导函数ya(3x21)的图象是开口向上的抛物线，所以a0.7.若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，)上为增函数，则实数a的取值范围为_.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的单调性答案5,7解析函数f(x)的导数f(x)x2axa1.令f(x)0，解得x1或xa1.当a11，即a2时，函数f(x)在(1，)上为增函数，不合题意.当a11，即a2时，函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)上为减函数，在(a1，)上为增函数.依题意有当x(1,4)时，f(x)0，当x(6，)时，f(x)0，所以4a16，即5a7，所以a的取值范围为5,7.8.已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1,1，则f(m)f(n)的最小值是_.考点导数的综合应用题点导数的综合应用答案13解析由题意求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.9.若函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是_.考点导数的综合应用题点导数的综合应用答案(1,1)解析令f(x)3x23a0，得x，则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值从而解得所以f(x)的单调递减区间为(1,1).10.设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的x(0,1都有f(x)0成立，则实数a的取值范围为_.考点导数的综合应用题点导数的综合应用答案4，)解析x(0,1，f(x)0可化为a.令g(x)，则g(x)，令g(x)0，得x.当0x0；当x1时，g(x)0)，则f(x).令f(x)0，解得x11，x2(舍去).当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数.故f(x)在x1处取得极小值f(1)3.12.已知函数f(x)axlnx，其中a为常数.(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的最值解(1)当a1时，f(x)xlnx，f(x)1，当0x0；当x1时，f(x)0.f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，)上是减函数.f(x)maxf(1)1.(2)f(x)a，当x(0，e时，若a，则f(x)0，f(x)在(0，e上是增函数，f(x)maxf(e)ae10不合题意；若a0，即a0，得0x，由f(x)0，即a0，得xe.从而f(x)在上是增函数，在上是减函数，f(x)maxf1ln，令1ln3，则ln2，e2，即ae2.e2，且当x1,4a时，|f(x)|12a恒成立，试确定a的取值范围.考点导数的综合应用题点导数的综合应用解(1)当a1时，f(x)x33x29x1，且f(x)3x26x9，由f(x)0，解得x1或x3.当x0；当1x3时，f(x)0.因此x1是函数的极大值点，极大值为f(1)6；当1x3时，f(x)3时，f(x)0.因此x3是函数的极小值点，极小值为f(3)26.(2)f(x)3x26ax9a2的图象是一条开口向上且对称轴为直线xa的抛物线，因此，若a1，则f(x)在1,4a上单调递增，所以f(x)在1,4a上的最小值为f(1)36a9a2，最大值为f(4a)15a2.由|f(x)|12a，得12a3x26ax9a212a，于是36a9a212a，且15a212a，结合a1，解得1，则|f(a)|12a212a，故当x1,4a时，|f(x)|12a不恒成立.所以使|f(x)|12a(x1,4a)恒成立的a的取值范围为.三、探究与拓展14.设f(x)x3x，xR，若当0时，f(msin)f(1m)0恒成立，则实数m的取值范围为_.考点导数的综合应用题点导数的综合应用答案(，1)解析因为f(x)x3x，xR，故f(x)3x210，则f(x)在xR上为单调增函数，又因为f(x)f(x)，故f(x)也为奇函数，由f(msin)f(1m)0，即f(msin)f(1m)f(m1)，得msinm1，即m(sin1)1，因为0，故当时，01恒成立；当时，m恒成立，即mmin1，故m0)上的最小值；(2)若函数yf(x)与yg(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的值；(3)若函数yf(x)g(x)有两个不同的极值点x1，x2(x1ln 2，求实数a的取值范围.考点导数的综合应用题点导数的综合应用解(1)令f(x)lnx10得x，当0t0)，则h(x)1(x2)(x1)(x0)，易知h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以ah(x)minh(1)3.(3)由题意得，yf(x)g(x)xlnxx2ax2，则其导函数为ylnx2x1a，由题意知ylnx2x1a0有两个不同的实根x1，x2，等价于alnx2x1有两个不同的实根x1，x2，且x10)的图象有两个不同的交点.由G(x)2(x0)，得G(x)在上单调递减，在上单调递增，画出函数G(x)图象的大致形状(如图).由图象易知，当aG(x)minGln2时，x1，x2存在，且x2x1的值随着a的增大而增大.而当x2x1ln2时，则有两式相减可得ln2(x2x1)2ln2，得x24x1，代入上述方程组解得x1，x2ln2，此时实数aln2ln1，所以实数a的取值范围为.
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