资源描述
圆的方程一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与y轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆的标准方程为( )A. x2+(y-1)2=8 B. x2+(y+1)2=8C. (x-1)2+(y+1)2=8 D. (x+1)2+(y-1)2=8（正确答案）A解：对于直线x-y+1=0，令x=0，解得y=1圆心C(0,1)，设圆的半径为r，圆C与直线x+y+3=0相切，r=|1+3|2=22，圆的标准方程为x2+(y-1)2=8故选：A对于直线x-y+1=0，令x=0，解得y.可得圆心C.设圆的半径为r，利用点到直线的距离公式及其圆C与直线x+y+3=0相切的充要条件可得r本题考查了点到直线的距离公式及其圆与直线相切的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2. 若过原点O的动直线l将圆E:(x-1)2+(y-2)2=10分成两部分的面积之差最大时，直线l与圆的交点记为A，B;直线l将圆E分成两部分的面积相等时，直线l与圆的交点记为C，D;则四边形ACBD的面积为 ( )A. 5 B. 10 C. 102 D. 210（正确答案）C当直线lOE时，弦AB将圆E分成两部分的面积之差最大，当直线l过圆心E(即与OE重合)时，直径CD将圆E分成两部分的面积相等.圆心E(1,2)到原点O的距离为，半径为，所以|AB|=2，因为S四边形ACBD= |CD|AB|，所以S四边形ACBD= 2 2 =103. 已知圆的方程为x2+y2-2x-6y+1=0，那么圆心坐标为( )A. (-1,-3) B. (1,-3) C. (1,3) D. (-1,3)（正确答案）C解：将圆x2+y2-2x-6y+1=0化成标准方程，得(x-1)2+(y-3)2=9，圆表示以C(1,3)为圆心，半径r=3的圆故选：C将已知圆化成标准方程并对照圆标准方程的基本概念，即可得到所求圆心坐标本题给出圆的一般方程，求圆心的坐标.着重考查了圆的标准方程与一般方程的知识，属于基础题4. 圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )A. x2+y2+10y=0 B. x2+y2-10y=0 C. x2+y2+10x=0 D. x2+y2-10x=0（正确答案）B解：圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，设圆的圆心(0,r)，半径为r则：(3-0)2+(1-r)2=r解得r=5所求圆的方程为：x2+(y-5)2=25.即x2+y2-10y=0故选：B设出圆的圆心与半径，利用已知条件，求出圆的圆心与半径，即可写出圆的方程本题考查圆的方程的求法，求出圆的圆心与半径是解题的关键5. 某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线ax+by+8=0与以A(1,-1)为圆心的圆交于B，C两点，且BAC=120，则圆C的方程为( )A. (x-1)2+(y+1)2=1 B. (x-1)2+(y+1)2=2C. (x-1)2+(y+1)2=1817 D. (x-1)2+(y+1)2=1215（正确答案）C解：由题意，1002500=a1000=b600，a=40，b=24，直线ax+by+8=0，即5x+3y+1=0，A(1,-1)到直线的距离为|5-3+1|25+9=334，直线ax+by+8=0与以A(1,-1)为圆心的圆交于B，C两点，且BAC=120，r=634，圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=1817，故选C根据分层抽样的定义进行求解a，b，利用点到直线的距离公式，求出A(1,-1)到直线的距离，可得半径，即可得出结论本题考查分层抽样，考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题6. 已知平面上点P(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2=16，其中x02+y02=4，当x0，y0变化时，则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是( )A. 4 B. 16 C. 32 D. 36（正确答案）C解：由题意可得，点P在圆)|(x-x0)2+(y-y0)2=16上，而且圆心(x0,y0)在以原点为圆心，以2为半径的圆上满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积，即36-4=32，故选：C先根据圆的标准方程求出圆心和半径，然后研究圆心的轨迹，根据点P在平面内所组成的图形是一个环面进行求解即可本题主要考查了圆的参数方程，题目比较新颖，正确理解题意是解题的关键，属于中档题7. 已知三点A(1,0)，B(0,3)，C(2,3)则ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )A. 53 B. 213 C. 253 D. 43（正确答案）B解：因为ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P(1,p)，由PA=PB得|p|=1+(p-3)2，得p=233圆心坐标为P(1,233)，所以圆心到原点的距离|OP|=1+(233)2=1+129=213，故选：B利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论本题主要考查圆性质及ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键8. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4,3)，点B是圆(x+1)2+y2=4上的动点，则线段AB的中点M的轨迹方程是( )A. (x-32)2+(y-32)2=1 B. (x-32)2+(y-32)2=4C. (x-3)2+(y-3)2=1 D. (x-3)2+(y-3)2=2（正确答案）A解：设M(x,y)，B(x1,y1)，又A(4,3)，且M为AB的中点，y1+3=2yx1+4=2x，则y1=2y-3x1=2x-4，点B在圆(x+1)2+y2=4上，(x1+1)2+y12=4，即(2x-3)2+(2y-3)2=4线段AB的中点M的轨迹方程是(x-32)2+(y-32)2=1故选：A设出M(x,y)，B(x1,y1)的坐标，利用中点坐标公式把B的坐标用M的坐标表示，代入已知圆的方程得答案本题考查轨迹方程的求法，训练了利用代入法求动点的轨迹，是中档题9. 阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k0且k1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为2，当P，A，B不共线时，PAB面积的最大值是( )A. 22 B. 2 C. 223 D. 23（正确答案）A解：设A(1,0)，B(-1,0)，P(x,y) 则(x-1)2+y2(x+1)2+y2=2，化简得(x+3)2+y2=8 如图， 当点P到AB(x轴)距离最大时，PAB面积的最大值，PAB面积的最大值是12222=22故选：A设A(1,0)，B(-1,0)，P(x,y)，则(x-1)2+y2(x+1)2+y2=2，化简得(x+3)2+y2=8，当点P到AB(x轴)距离最大时，PAB面积的最大值，本题考查轨迹方程求解、直线与圆的位置关系，属于中档题10. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，点P、Q分别在直线A1C1和BD上运动，且PQ=8，则PQ的中点M的轨迹是( )A. 平行四边形 B. 圆 C. 椭圆 D. 非以上图形（正确答案）A解：如图所示，点P在A1点时，Q点从点G运动到点H，则EF是中点M的轨迹；同理，点P在C1点、点Q在B点、点Q在C点时，中点M的轨迹对应四条线段，且两组对边平行且相等所以，PQ的中点M的轨迹是平行四边形故选：A如图所示，点P在A1点时，Q点从点G运动到点H，则EF是中点M的轨迹；同理，点P在C1点、点Q在B点、点Q在C点时，中点M的轨迹对应四条线段，且两组对边平行且相等，即可得出结论本题考查轨迹方程，考查立体几何与解析几何的综合，考查数形结合的数学思想，属于中档题11. 在平面直角坐标系xOy中，以(-2,0)为圆心且与直线(3m+1)x+(1-2m)y-5=0(mR)相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是( )A. (x+2)2+y2=16 B. (x+2)2+y2=20 C. (x+2)2+y2=25 D. (x+2)2+y2=36（正确答案）C解：根据题意，设圆心为P，则点P的坐标为(-2,0) 对于直线(3m+1)x+(1-2m)y-5=0，变形可得m(3x-2y)m+(x+y-5)=0 即直线过定点M(2,3)，在以点(-2,0)为圆心且与直线(3m+1)x+(1-2m)y-5=0，面积最大的圆的半径r长为MP，则r2=MP2=25，则其标准方程为(x+2)2+y2=25；故选B根据题意，将直线的方程变形可得m(3x-2y)m+(x+y-5)=0，分析可得其定点M(2,3)，进而分析可得满足题意的圆是以P为圆心，半径为MP的圆，求出MP的长，将其代入圆的标准方程计算可得答案本题考查直线与圆的位置关系，关键是分析出直线(3m+1)x+(1-2m)y-5=0过的定点坐标12. 已知圆C过坐标原点，面积为2，且与直线l：x-y+2=0相切，则圆C的方程是( )A. (x+1)2+(y+1)2=2B. (x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y-1)2=2C. (x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2D. (x-1)2+(y-1)2=2（正确答案）C解：设圆心坐标为(a,b)，面积为2，半径r=2，圆C过坐标原点，且与直线l：x-y+2=0相切，a2+b2=|a-b+2|2=2，a=b=1，圆心为(1,1)或(-1,-1)，圆C的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2，故选：C设圆心坐标为(a,b)，利用圆C过坐标原点，面积为2，且与直线l：x-y+2=0相切，求出a，b，即可求出圆C的方程本题考查的是圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，利用条件建立方程，求出圆心与半径是解题的关键所在二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知A(-1,4)，B(3,-2)，以AB为直径的圆的标准方程为_ （正确答案）(x-1)2+(y-1)2=13解：设圆心为C，A(-1,4)，B(3,-2)，圆心C的坐标为(1,1)；|AC|=(1+1)2+(1-4)2=13，即圆的半径r=13，则以线段AB为直径的圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=13故答案为：(x-1)2+(y-1)2=13因为线段AB为所求圆的直径，所以利用中点坐标公式求出线段AB的中点即为所求圆的圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出圆心C与点A之间的距离即为所求圆的半径，根据求出的圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可此题考查了中点坐标公式，两点间的距离公式以及圆的标准方程，解答本题的关键是灵活运用已知条件确定圆心坐标及圆的半径.同时要求学生会根据圆心与半径写出圆的标准方程14. 圆心在直线2x-y=0上的圆C与x轴的正半轴相切，圆C截y轴所得的弦的长为23，则圆C的标准方程为_（正确答案）(x-1)2+(y-2)2=4解：设圆心(t,2t)(t0)，则由圆与x轴相切，可得半径r=2|t|圆心到y轴的距离d=t，由圆C截y轴所得的弦的长为23，4t2=t2+3 解得t=1故圆心为(1,2)，半径等于2故圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=4故答案为(x-1)2+(y-2)2=4设圆心(t,2t)，由题意可得半径r=2|t|，求出圆心到直线的距离d，再由4t2=t2+3，解得t的值，从而得到圆心坐标和半径，由此求出圆的方程本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于中档题15. 已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点(0,5)圆C上，且圆心到直线2x-y=0的距离为455，则圆C的方程为_ （正确答案）(x-2)2+y2=9解：由题意设圆的方程为(x-a)2+y2=r2(a0)，由点M(0,5)在圆上，且圆心到直线2x-y=0的距离为455，得a2+5=r2|2a|5=455，解得a=2，r=3圆C的方程为：(x-2)2+y2=9故答案为：(x-2)2+y2=9由题意设出圆的方程，把点M的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题16. 已知圆C的圆心与点M关于直线x-y+1=0对称，并且圆C与双曲线 -y2=1的渐近线相切，则圆C的方程为 （正确答案）x2+(y-2)2=3因为圆C的圆心与点M(1,1)关于直线x-y+1=0对称，所以圆C的圆心为(0,2)，双曲线 -y2=1的渐近线方程为 y=0，与圆相切，所以圆的半径为所以圆C的方程为x2+(y-2)2=3三、解答题（本大题共3小题，共30分）17. 已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点()若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR/FQ；()若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程（正确答案）()证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP/BQ，得AFP+BFQ=90，PFQ=90，R是PQ的中点，RF=RP=RQ，PARFAR，PAR=FAR，PRA=FRA，BQF+BFQ=180-QBF=PAF=2PAR，FQB=PAR，PRA=PQF，AR/FQ()设A(x1,y1)，B(x2,y2)， F(12,0)，准线为x=-12， SPQF=12|PQ|=12|y1-y2|，设直线AB与x轴交点为N，SABF=12|FN|y1-y2|，PQF的面积是ABF的面积的两倍，2|FN|=1，xN=1，即N(1,0)设AB中点为M(x,y)，由y22=2x2y12=2x1得y12-y22=2(x1-x2)，又y1-y2x1-x2=yx-1，yx-1=1y，即y2=x-1AB中点轨迹方程为y2=x-1()连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明PRA=PQF，即可证明AR/FQ；()利用PQF的面积是ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题18. 设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E()证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；()设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围（正确答案）解：()证明：圆x2+y2+2x-15=0即为(x+1)2+y2=16，可得圆心A(-1,0)，半径r=4，由BE/AC，可得C=EBD，由AC=AD，可得D=C，即为D=EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b=a2-c2=3，则点E的轨迹方程为x24+y23=1(y0)；()椭圆C1：x24+y23=1，设直线l：x=my+1，由PQl，设PQ：y=-m(x-1)，由3x2+4y2=12x=my+1可得(3m2+4)y2+6my-9=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，可得y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，则|MN|=1+m2|y1-y2|=1+m236m2(3m2+4)2+363m2+4 =1+m236(4m2+4)3m2+4=121+m23m2+4，A到PQ的距离为d=|-m(-1-1)|1+m2=|2m|1+m2，|PQ|=2r2-d2=216-4m21+m2=43m2+41+m2，则四边形MPNQ面积为S=12|PQ|MN|=1243m2+41+m2121+m23m2+4 =241+m23m2+4=2413+11+m2，当m=0时，S取得最小值12，又11+m20，可得S|CA|=2曲线E是以坐标原点为中心，C(-1,0)和A(1,0)为焦点，长轴长为22的椭圆设曲线E的方程为x2a2+y2b2=1，(ab0)c=1，a=2，b2=2-1=1曲线E的方程为x22+y2=1()设M(x1,y1)，N(x2,y2). 联立y=kx+mx22+y2=1消去y，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0此时有=16k2-8m2+80由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-21+2k2，. |MN|=1+k2(-4km1+2k2)2-42m2-21+2k2=1+k21+2k28(2k2-m2+1) 原点O到直线l的距离d=|m|1+k2-，SMON=12|MN|d=21+2k2m2(2k2-m2+1)，由0，得2k2-m2+10又m0，据基本不等式，得SMON=21+2k2m2(2k2-m2+1)21+2k2m2+2k2-m2+12=22，当且仅当m2=2k2+12时，不等式取等号MON面积的最大值为22(1)根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可(2)联立直线和椭圆方程，利用消元法结合设而不求的思想进行求解即可本题主要考查与椭圆有关的轨迹方程问题，以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用消元法以及设而不求的数学思想是解决本题的关键.，运算量较大，有一定的难度
展开阅读全文