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第1课时回归分析的基本思想基础达标(水平一)1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是().A.正方体的棱长与体积B.单位面积的产量为常数时,土地面积与总产量C.日照时间与水稻的亩产量D.电压一定时,电流与电阻【解析】A,B,D中两个变量间的关系都是确定的,是函数关系;C中的两个变量间是相关关系,对于日照时间一定的水稻,仍可以有不同的亩产量,故选C.【答案】C2.在回归分析中,相关指数R2的值越大,说明残差平方和().A.越大B.越小C.可能大也可能小 D.以上都不对【解析】R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y-)2,当R2越大时,i=1n(yi-yi)2越小,即残差平方和越小.【答案】B3.某学生在四次模拟考试中,其英语作文的减分情况如表:考试次数x1234所减分数y4.5432.5显然所减分数y与模拟考试次数x之间具有线性相关关系,其线性回归方程为().A.y=0.7x+5.25B.y=-0.6x+5.25C.y=-0.7x+6.25D.y=-0.7x+5.25【解析】由题意可知,所减分数y与模拟考试次数x之间为负相关,所以排除A.考试次数的平均数为x-=14(1+2+3+4)=2.5,所减分数的平均数为y-=14(4.5+4+3+2.5)=3.5,即直线过点(2.5,3.5),代入验证可知直线y=-0.7x+5.25成立,故选D.【答案】D4.某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=-10x+200,则下列结论正确的是().A.y与x之间具有正的线性相关关系B.若R2表示变量y与x之间的线性相关指数,则R2=2C.当销售价格为10元时,销售量为100件D.当销售价格为10元时,销售量为100件左右【解析】y与x之间具有负的线性相关关系,所以A项错误;R2在(0,1)之间,所以B项错误;当销售价格为10元时,销售量在100件左右,因此C项错误,D项正确.【答案】D5.某校高三年级267位学生参加期末考试,某班32位学生的语文成绩、数学成绩与语文和数学的总成绩在全年级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是;在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是.【解析】由图可知,甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后;而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前,故填乙.由图可知,比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多;而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少,所以丙的数学成绩的排名更靠前,故填数学.【答案】乙数学6.若有一组数据的总偏差平方和为100,相关指数为0.5,则其残差平方和为.【解析】由R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y-)2,得i=1n(yi-yi)2=1000.5=50.【答案】507.一位母亲记录了儿子316岁每个生日时的身高数据,发现年龄x(岁)与身高y(cm)之间具有线性相关关系,且回归直线方程为y=6.314x+72.017.(1)如果年龄(316岁)相差5岁,那么身高有多大差异?(2)如果身高相差20 cm,那么年龄相差多少?(结果保留到整数)(3)如果该小孩8岁时的实际身高为122 cm,求残差e.【解析】(1)如果年龄相差5岁,那么身高的变化约为6.3145=31.570 cm,所以当年龄相差5岁时,身高相差约31.570 cm.(2)如果身高相差20 cm,那么年龄相差206.3143(岁),所以当身高相差20 cm时,年龄相差约3岁.(3)y=122,y=6.3148+72.017=122.529,所以e=y-y=122-122.529=-0.529.拓展提升(水平二)8.根据如下样本数据x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的线性回归方程为y=a+bx,则().A.a0,b0B.a0,b0C.a0D.a0,b0【解析】画出散点图如图所示,由图象不难得出回归直线y=a+bx的斜率b0.故选B.【答案】B9.已知数组(x1,y1),(x2,y2),(x10,y10)满足线性回归方程y=bx+a,则“(x0,y0)满足线性回归方程y=bx+a”是“x0=x1+x2+x1010,y0=y1+y2+y1010”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】x0,y0为这10组数据的平均值,因为根据公式计算出线性回归方程y=bx+a的b以后,再根据a=y-bx-(x-,y-为样本的平均值)求得a,所以x-,y-一定满足线性回归方程,但满足线性回归方程的除了(x-,y-)外,可能还有其他样本点.【答案】B10.某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x()之间的关系,随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温,数据如下表:月平均气温x()171382月销售量y(件)24334055由表中数据算出线性回归方程y=bx+a中的b-2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ,据此估计,该商场下个月羽绒服的销售量的件数为.【解析】x-=14(17+13+8+2)=10,y-=14(24+33+40+55)=38,由线性回归方程过点(x-,y-),得38=-210+a,a=58.y=-2x+58,当x=6时,y=46.【答案】4611.某班5名学生的数学和物理成绩如下表:学科学生ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图;(2)求物理成绩y关于数学成绩x的回归直线方程;(3)一名学生的数学成绩是96,试预测他的物理成绩;(4)求学生A,B,C,D,E的物理的实际成绩和由回归直线方程预报的成绩的差ei=yi-yi.【解析】(1)散点图如下图.(2)x-=15(88+76+73+66+63)=73.2,y-=15(78+65+71+64+61)=67.8.i=15xiyi=8878+7665+7371+6664+6361=25054.i=15xi2=882+762+732+662+632=27174.所以b=i=15xiyi-5x-y-i=15xi2-5x-2=25054-573.267.827174-573.220.625.a=y-bx-67.8-0.62573.2=22.05.所以y对x的回归直线方程是y=0.625x+22.05.(3)当x=96时,则y=0.62596+22.0582,即可以预测他的物理成绩是82.(4)当x1=88时,y1=0.62588+22.0577,所以e1=78-77=1;当x2=76时,y2=0.62576+22.0570,所以e2=65-70=-5;当x3=73时,y3=0.62573+22.0568,所以e3=71-68=3;当x4=66时,y4=0.62566+22.0563,所以e4=64-63=1;当x5=63时,y5=0.62563+22.0561,所以e5=61-61=0.
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