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第8课时导数的综合应用基础达标(水平一)1.函数y=13x3-4x+4的图象(如图)为().【解析】当y=x2-4=0时,x=2.当x(-,-2)和(2,+)时,y单调递增;当x(-2,2)时,y单调递减.当x=2时,y=-43;当x=-2时,y=283.【答案】A2.已知函数f(x)=x+ln x,则有().A.f(2)f(e)f(3)B.f(e)f(2)f(3)C.f(3)f(e)f(2)D.f(e)f(3)0在x(0,+)上恒成立,所以f(x)在(0,+)上为增函数,所以f(2)f(e)f(x),且f(0)=2,则不等式f(x)f(x),g(x)0,即函数g(x)在定义域上是减函数.又f(0)=2,g(0)=f(0)=2,则不等式f(x)ex2等价于g(x)0,不等式的解集为(0,+).【答案】(0,+)7.若函数f(x)=ln x-a2x2+ax(aR)在区间(1,+)上是减函数,求实数a的取值范围.【解析】显然函数f(x)=ln x-a2x2+ax的定义域为(0,+),f(x)=1x-2a2x+a=-2a2x2+ax+1x=-(2ax+1)(ax-1)x.当a=0时,f(x)=1x0,f(x)在区间(1,+)上为增函数,不合题意.当a0时,f(x)0(x0)等价于(2ax+1)(ax-1)0(x0),即x1a,此时f(x)的单调递减区间为1a,+.由1a1,a0,得a1.当a0)等价于(2ax+1)(ax-1)0(x0),即x-12a,此时f(x)的单调递减区间为-12a,+.由-12a1,a0;当x(1,e时,f(x)12,当x(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为().A.1B.2C.3D.-1【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当x(0,2)时,f(x)=1x-a,令f(x)=0,得x=1a.又a12,所以01a0,得0x1a,所以f(x)在0,1a上单调递增;令f(x)1a,所以f(x)在1a,2上单调递减.所以当x(0,2)时,f(x)max=f1a=ln1a-a1a=-1,所以ln1a=0,所以a=1.【答案】A10.已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如表所示,f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示.x-10245f(x)121.521下列关于函数f(x)的命题:函数f(x)的值域为1,2;如果当x-1,t时,f(x)的最大值为2,那么t的最大值为4;函数f(x)在0,2上是减函数;当1a2时,函数y=f(x)-a最多有4个零点.其中正确命题的序号是.【解析】由导函数的图象知,f(x)在区间-1,0)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,4)上单调递增,在区间(4,5上单调递减,结合图象函数的最小值是1,最大值是2,故函数f(x)的值域为1,2,正确.由已知中y=f(x)的图象,及表中数据可得当x=0或x=4时,函数取最大值2,若x-1,t时,f(x)的最大值是2,则0t5,故t的最大值为5,即错误.由已知中y=f(x)的图象可得在0,2上f(x)0,即f(x)在0,2上是减函数,即正确.当1.5a2时,函数y=f(x)-a有4个零点,故当1ag(x)+12.【解析】(1)f(x)=1-1x=x-1x,当0x1时,f(x)0,f(x)单调递减;当1x0,f(x)单调递增,f(x)的极小值为f(1)=1.(2)g(x)=1-lnxx2,令g(x)0,得0xe,g(x)在(0,e上单调递增.(3)由(1)知,f(x)min=1.由(2)知,g(x)max=g(e)=1e.又g(x)max+12=1e+12g(x)+12.
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