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8.2空间点、线、面的位置关系挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点空间点、线、面的位置关系1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解四个公理及推论2.会用平面的基本性质证明点共线、线共点以及点线共面等问题3.理解空间两直线的位置关系及判定,了解等角定理和推论2013天津,17证明异面直线垂直求二面角的正弦值2012天津,17求异面直线所成角的正切值证面面垂直、求线面角的正弦值2008天津,5直线、平面位置关系的判定充分条件分析解读1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明异面或共面问题.2.会证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题,会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为载体,求异面直线所成的角,分值约为5分,属于中档题.破考点【考点集训】考点空间点、线、面的位置关系1.是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m,n,且Am,A,则m,n的位置关系不可能是()A.垂直B.相交C.异面D.平行答案D2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为()A.4B.5C.6D.7答案C3.如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有()A.B.C.D.答案C4.已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,点E是PB的中点,则异面直线AE与PD所成角的余弦值为()A.13B.23C.33D.23答案C5.在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角的大小为.答案45炼技法【方法集训】方法1点、线、面位置关系的判断方法1.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,表示平面.下列说法正确的是()A.若m,n,则mnB.若m,n,则mnC.若m,mn,则nD.若m,mn,则n答案B2.如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB、BC、CD上,且满足AEEB=CFFB=21,CGGD=31,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH.(1)求AHHD;(2)求证:EH、FG、BD三线共点.解析(1)AEEB=CFFB=2,EFAC,又EF平面ACD,AC平面ACD,EF平面ACD,又EF面EFGH,面EFGH面ACD=GH,EFGH.而EFAC,ACGH,AHHD=CGGD=3.AHHD=31.(2)证明:EFGH,且EFAC=13,GHAC=14,EFGH,四边形EFGH为梯形,直线EH,FG必相交.设EHFG=P,则PEH,而EH面ABD,P面ABD,同理,P面BCD,而面ABD面BCD=BD,PBD.EH、FG、BD三线共点.3.如图所示,已知l1,l2,l3,l4四条直线两两相交且不过同一点,交点分别为A,B,C,D,E,F.求证:四条直线l1,l2,l3,l4共面.证明证法一:A、C、E不共线,它们确定一个平面,又Al1,Cl1,l1,同理,l2,又Bl1,Dl2,B,D,l3,同理,l4,故l1,l2,l3,l4四条直线共面.证法二:点A、C、E不共线,它们确定一个平面,又Al1,Cl1,l1,同理,l2,又F、D、E不共线,它们确定一个平面.又Dl3,Fl3,El4,Fl4,l3,l4.而不共线的三点B、C、D可确定一个平面,又B、C、D既在内又在内,故平面与平面重合.l1,l2,l3,l4四条直线共面.评析证法一与证法二是证明共面问题常用的方法,证法一是先确定一个平面,后证明其他的直线也在这个平面内,从而使问题得证;证法二是寻找了两个平面与使得四条直线在内或在内,然后再证明与重合,从而使问题得证.证明本题也可用反证法.方法2异面直线所成角的求法4.已知P是ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=43,则异面直线PA与MN所成角的大小是()A.30B.45C.60D.90答案A5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为()A.52B.23C.255D.53答案C过专题【五年高考】A组自主命题天津卷题组1.(2008天津,5,5分)设a,b是两条直线,是两个平面,则ab的一个充分条件是()A.a,b,B.a,b,C.a,b,D.a,b,答案C2.(2013天津,17,13分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABDC,ABAD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1CE;(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26,求线段AM的长.解析解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).(1)证明:易得B1C1=(1,0,-1),CE=(-1,1,-1),于是B1C1CE=0,所以B1C1CE.(2)B1C=(1,-2,-1).设平面B1CE的法向量m=(x,y,z),则mB1C=0,mCE=0,即x-2y-z=0,-x+y-z=0,消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1).由(1)知B1C1CE,又CC1B1C1,可得B1C1平面CEC1,故B1C1=(1,0,-1)为平面CEC1的一个法向量.于是cos=mB1C1|m|B1C1|=-4142=-277,从而sin=217.所以二面角B1-CE-C1的正弦值为217.(3)AE=(0,1,0),EC1=(1,1,1).设EM=EC1=(,),01,有AM=AE+EM=(,+1,).可取AB=(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量.设为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则sin=|cos|=|AMAB|AM|AB|=22+(+1)2+22=32+2+1.于是32+2+1=26,解得=13,所以AM=2.解法二:(1)证明:因为侧棱CC1底面A1B1C1D1,B1C1平面A1B1C1D1,所以CC1B1C1.经计算可得B1E=5,B1C1=2,EC1=3,从而B1E2=B1C12+EC12,所以在B1EC1中,B1C1C1E,又CC1,C1E平面CC1E,CC1C1E=C1,所以B1C1平面CC1E,又CE平面CC1E,故B1C1CE.(2)过B1作B1GCE于点G,连接C1G.由(1)知B1C1CE,故CE平面B1C1G,得CEC1G,所以B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在CC1E中,由CE=C1E=3,CC1=2,可得C1G=263.在RtB1C1G中,B1G=423,所以sinB1GC1=217,即二面角B1-CE-C1的正弦值为217.(3)连接D1E,过点M作MHED1于点H,可得MH平面ADD1A1,连接AH,AM,则MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.设AM=x,从而在RtAHM中,有MH=26x,AH=346x.在RtC1D1E中,C1D1=1,ED1=2,得EH=2MH=13x.在AEH中,AEH=135,AE=1,由AH2=AE2+EH2-2AEEHcos135,得1718x2=1+19x2+23x,整理得5x2-22x-6=0,解得x=2.所以线段AM的长为2.评析本题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角,直线与平面所成的角,直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.3.(2012天津,17,13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,ADPD,BC=1,PC=23,PD=CD=2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(2)证明平面PDC平面ABCD;(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.解析(1)在四棱锥P-ABCD中,因为底面ABCD是矩形,所以AD=BC且ADBC,故PAD(或其补角)为异面直线PA与BC所成的角.又因为ADPD,所以tanPAD=PDAD=2.所以,异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明:由于底面ABCD是矩形,故ADCD,又由于ADPD,CDPD=D,因此AD平面PDC,而AD平面ABCD,所以平面PDC平面ABCD.(3)在平面PDC内,过点P作PECD交直线CD于点E,连接EB.由于平面PDC平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线,故PE平面ABCD.由此得PBE为直线PB与平面ABCD所成的角.在PDC中,PD=CD=2,PC=23,故PCD=30.在RtPEC中,PE=PCsin30=3.由ADBC,AD平面PDC,得BC平面PDC,因此BCPC.在RtPCB中,PB=PC2+BC2=13.在RtPEB中,sinPBE=PEPB=3913.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为3913.评析本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018课标文,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.22B.32C.52D.72答案C2.(2016浙江文,2,5分)已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m,n,则()A.mlB.mnC.nlD.mn答案C3.(2015浙江文,4,5分)设,是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l,m.()A.若l,则B.若,则lmC.若l,则D.若,则lm答案A4.(2015广东文,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案D5.(2014广东文,9,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案D6.(2015四川文,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF平面BEG.解析(1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面BEG平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BCFG,BC=FG,又FGEH,FG=EH,所以BCEH,BC=EH,故BCHE为平行四边形.所以BECH.又CH平面ACH,BE平面ACH,所以BE平面ACH.同理,BG平面ACH.又BEBG=B,所以平面BEG平面ACH.(3)证明:连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH平面EFGH,因为EG平面EFGH,所以DHEG.又EGFH,DHFH=H,所以EG平面BFHD.又DF平面BFHD,所以DFEG.同理,DFBG.又EGBG=G,所以DF平面BEG.评析本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力.7.(2014课标文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;(2)设AP=1,AD=3,三棱锥P-ABD的体积V=34,求A到平面PBC的距离.解析(1)证明:设BD与AC的交点为O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)V=13PASABD=16PAABAD=36AB.由V=34,可得AB=32.作AHPB交PB于H.由题设知BC平面PAB,所以BCAH,又BCBP=B,故AH平面PBC.又AH=PAABPB=31313,所以A到平面PBC的距离为31313.评析本题考查直线和平面平行、垂直的判定方法以及空间距离的计算,考查了空间想象能力.C组教师专用题组(2014陕西文,17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.解析(1)由该四面体的三视图可知,BDDC,BDAD,ADDC,BD=DC=2,AD=1,AD平面BDC,四面体ABCD的体积V=1312221=23.(2)证明:BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH,BCFG,BCEH,FGEH.同理,EFAD,HGAD,EFHG,四边形EFGH是平行四边形.又AD平面BDC,ADBC,EFFG,四边形EFGH是矩形.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2019届天津七校联考期中,4)已知m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中正确的是()A.若,则B.若mn,m,n,则C.若mn,m,n,则D.若mn,m,则n答案C2.(2018天津杨村一中热身训练,4)已知命题p:“直线l垂直于平面内的无数条直线”的充要条件是“l”;命题q:若平面平面,直线a,则“a”是“a平行于”的充分不必要条件,则正确命题是()A.pqB.(p)qC.(p)(q)D.p(q)答案B3.(2018天津南开中学第三次月考,5)若m、n是两条不同的直线,、是三个不同的平面,则下列命题中真命题是()A.若m,m,则B.若=m,=n,mn,则C.若m,则mD.若,则答案A4.(2019届天津七校联考期中,8)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为线段A1B上的动点,则下列结论正确的有()三棱锥M-DCC1的体积为定值;DC1D1M;AMD1的最大值为90;AM+MD1的最小值为2.A.B.C.D.答案A二、填空题(每小题5分,共5分)5.(2019届天津新华中学期中,10)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是.若,垂直于同一平面,则与平行若m,n平行于同一平面,则m与n平行若,不平行,则在内不存在与平行的直线若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面答案三、解答题(共75分)6.(2017天津南开中学第五次月考,17)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=12AA1,D是棱AA1的中点,DC1BD.(1)证明:DC1BC;(2)求二面角A1-BD-C1的大小.解析(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点,故DC=DC1.又AC=12AA1,所以DC12+DC2=CC12,所以DC1DC.而DC1BD,DCBD=D,所以DC1平面BCD.又BC平面BCD,故DC1BC.(2)由(1)知BCDC1,且BCCC1,且DC1CC1=C1,则BC平面ACC1,所以CA,CB,CC1两两相互垂直.以C为坐标原点,CA为x轴的正方向,CB为y轴的正方向,CC1为z轴的正方向,|CA|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题意知A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2),则A1D=(0,0,-1),BD=(1,-1,1),DC1=(-1,0,1).设n=(x,y,z)是平面A1B1BD的法向量,则nBD=0,nA1D=0,即x-y+z=0,z=0,令x=1,则y=1,因此可取n=(1,1,0).同理,设m=(a,b,c)是平面C1BD的法向量,则mBD=0,mDC1=0,即a-b+c=0,-a+c=0,令a=1,则c=1,b=2,故可取m=(1,2,1).从而cos=nm|n|m|=32.又易知二面角A1-BD-C1为锐二面角,故二面角A1-BD-C1的大小为30.7.(2017天津南开一模,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=PB,PAPB,F为CP上的点,且BF平面PAC.(1)求证:平面PAB平面ABCD;(2)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在一点G,使GF平面PAB?若存在,求PG的长;若不存在,说明理由.解析(1)证明:BF平面PAC,PA平面PAC,BFPA,又PAPB,PBBF=B,PA平面PBC,又BC平面PBC,PABC,又底面ABCD是正方形,ABBC,又PAAB=A,BC平面PAB,BC平面ABCD,平面PAB平面ABCD.(2)作PEAB,垂足为E,连接EC,由(1)知平面PAB平面ABCD,又平面PAB平面ABCD=AB,PE平面ABCD,则PCE为直线PC与平面ABCD所成角.PA=PB,PAPB,AB=2,PE=1,PB=2,在RtPBC中,由勾股定理得PC=6,在RtPEC中,sinPCE=PEPC=66,直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为66.(3)作FGCD,交PD于G,FGCD,ABCD,FGAB.又FG平面PAB,AB平面PAB,FG平面PAB,BF平面PAC,PC平面PAC,BFPC.在RtPBC中,易得BF=233.在RtPBF中,由勾股定理可得PF=63.又PC=PD,PG=63,即棱PD上存在一点G,使GF平面PAB,且PG=63.解题分析本题考查线面、面面垂直的判定定理,考查线面角,考查线面平行,属于中档题.8.(2017天津南开二模,17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1平面ABC,BAC=90,AC=AB=AA1,E是BC的中点.(1)求证:AEB1C;(2)求异面直线AE与A1C所成角的大小;(3)若G为C1C的中点,求二面角C-AG-E的正切值.解析(1)证明:BB1平面ABC,AE平面ABC,AEBB1,由AB=AC,E为BC的中点得AEBC,BCBB1=B,AE平面BB1C1C,又B1C平面BB1C1C,AEB1C.(2)取B1C1的中点E1,连接A1E1,E1C,则AEA1E1,E1A1C或其补角是异面直线AE与A1C所成的角.设AC=AB=AA1=2,则由BAC=90,可得A1E1=AE=2,A1C=22,E1C1=EC=12BC=2,E1C=E1C12+C1C2=6,在E1A1C中,由余弦定理的推论得cosE1A1C=2+8-62222=12,异面直线AE与A1C所成角的大小为3.(3)设P是AC的中点,过点P作PQAG于Q,连接EP,EQ,则EPAB,EPAC,又平面ABC平面ACC1A1,且平面ACC1A1平面ABC=AC,EP平面ABC,EP平面ACC1A1,而PQAG,由三垂线定理得EQAG.PQE是二面角C-AG-E的平面角,设EP=1,则AP=1,PQCG=APAG,PQ=15,得tanPQE=PEPQ=5.所以二面角C-AG-E的正切值是5.解题分析本题是与二面角有关的立体几何综合题,主要考查了异面直线的夹角,线线垂直的判定,二面角等知识点,难度适中,熟练掌握线面垂直,线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角与二面角的定义,是解答本题的关键.9.(2018天津实验中学热身训练,17)如图,在侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,ADAB,AB=2,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.(1)证明:EFA1D1;(2)证明:BA1平面B1C1EF;(3)求BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值.解析(1)证明:因为C1B1A1D1,C1B1平面ADD1A1,A1D1平面ADD1A1,所以C1B1平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF平面A1D1DA=EF,所以C1B1EF,所以A1D1EF.(2)证明:因为BB1平面A1B1C1D1,B1C1平面A1B1C1D1,所以BB1B1C1.又因为B1C1B1A1,BB1B1A1=B1,所以B1C1平面ABB1A1,又BA1平面ABB1A1,所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,所以tanA1B1F=tanAA1B=22,即A1B1F=AA1B,故BA1B1F,又B1FB1C1=B1,所以BA1平面B1C1EF.(3)设BA1与B1F的交点为H,连接C1H.由(2)知BA1平面B1C1EF,所以BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角.在矩形AA1B1B中,AB=2,AA1=2,易得BH=46.在RtBHC1中,BC1=25,BH=46,所以sinBC1H=BHBC1=3015.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是3015.10.(2018天津河西二模,17)如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,ACD=90,AB=1,AD=2,四边形ABEF为正方形,平面ABEF平面ABCD,P为DF的中点,ANCF,垂足为N.(1)求证:AN平面CDF;(2)求异面直线BF与PC所成角的正切值;(3)求三棱锥B-CEF的体积.解析(1)证明:四边形ABEF为正方形,ABAF,四边形ABCD为平行四边形,ACD=90,CDAC,ABCD,CDAF,AFAC=A,CD平面ACF,AN平面AFC,CDAN,ANCF,CFCD=C,AN平面CDF.(2)连接BD交AC于点O,连接AP、PO.四边形ABCD为平行四边形,ACD=90,AB=1,AD=2,AC=AD2-CD2=4-1=3,AO=CO=32,平面ABEF平面ABCD,AF平面ABCD,又AD平面ABCD,AFAD,四边形ABEF为正方形,AB=1,AF=AB=1,P为DF的中点,AP=12FD.由(1)知CD平面ACF,CDCF,又P为DF的中点,CP=12FD,AP=CP=12FD=12AF2+AD2=121+4=52,P为DF的中点,O是BD的中点,BFPO,CPO或其补角是异面直线BF与PC所成的角,sinCPO=COPC=3252=155,cosCPO=105,tanCPO=62,异面直线BF与PC所成角的正切值为62.(3)由(1)知CDAB,且ACD=90,CAB=90,即ABAC,由(2)知AF平面ABCD,AFAC,又AFAB=A,AC平面ABF,又由(2)知CA=3,三棱锥B-CEF的体积VB-CEF=VC-BEF=13SBEFCA=1312113=36.11.(2017天津耀华中学一模,17)如图1,在边长为3的正三角形ABC中,E,F,P分别为AB,AC,BC上的点,且满足AE=FC=CP=1.将AEF沿EF折起到A1EF的位置,使平面A1EF平面EFB,连接A1B,A1P,Q为A1B上一点,连接PQ,CQ.(如图2)(1)若Q为A1B中点,求证:PQ平面A1EF;(2)求证:A1EEP;(3)求CQ与平面A1BE所成角的正切值.解析(1)证明:取A1E的中点M,连接QM,MF,在A1BE中,Q、M分别为A1B、A1E的中点,QMBE,且QM=12BE.在题图1中,CFFA=CPPB=12,PFBE,且PF=12BE,QMPF且QM=PF,四边形PQMF为平行四边形.PQFM.又FM平面A1EF,且PQ平面A1EF,PQ平面A1EF.(2)证明:如图,取BE中点D,连接DF,AE=CF=1,DE=1,AF=AD=2.又A=60,ADF是正三角形.AE=ED=1,EFAD,在题图2中有A1EEF.平面A1EF平面EFB,平面A1EF平面EFB=EF,A1E平面EFB,又EP平面EFB,A1EEP.(3)作CNBE于N,连接QN,则CNEF.EFA1E,EFBE,A1EBE=E,EF平面A1BE.因此,CN平面A1BE,即QN是CQ在平面A1BE内的射影.CQN为CQ与平面A1BE所成的角.由计算可得CN=332,BQ=12A1B=52,cosA1BE=25.QN2=BQ2+BN2-2BQBNcosA1BE=12.QN=22.tanCQN=CNQN=33222=362.即CQ与平面A1BE所成角的正切值为362.解题分析本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,考查线面角的求法,正确找出CQ与平面A1BE所成的角是解答该题的关键.
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