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第1课时等比数列1.理解等比数列的定义.(重点)2.掌握等比数列的通项公式及其应用.(重点、难点)3.熟练掌握等比数列的判定方法.(易错点)基础初探教材整理1等比数列的定义阅读教材P44P45倒数第10行，完成下列问题.1.等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0).(2)符号语言：q(q为常数，q0，nN).2.等比中项(1)前提：三个数x，G，y成等比数列.(2)结论：G叫做x，y的等比中项.(3)满足的关系式：G2xy.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)常数列一定是等比数列.()(2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列.()(3)等比数列中的项可以为零.()(4)若a，b，c三个数满足b2ac，则a，b，c一定能构成等比数列.()【解析】(1).因为各项均为0的常数列不是等比数列.(2).因为任何一个各项不为0的常数列既是等差数列，又是等比数列.(3).因为等比数列的各项与公比均不能为0.(4).因为等比数列各项不能为0；若a，b，c成等比数列，则b2ac，但是反之不成立，比如：a0，b0，c1，则a，b，c就不是等比数列.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2等比数列的通项公式阅读教材P45P47，完成下列问题.1.等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第n项an，有公式ana1qn1.这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比.2.等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为anqn，而yqx(q1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列qn中的各项的点是函数yqx的图象上的孤立点.1.在等比数列an中，a14，公比q3，则通项公式an_.【解析】ana1qn143n1.【答案】43n12.已知an是等比数列，a22，a5，则公比q_.【解析】a2a1q2，a5a1q4，得：q3，q.【答案】3.在等比数列an中，已知a23，a524，则a8_.【解析】由得所以a827192.【答案】192小组合作型等比数列的判断与证明(1)下列数列是等比数列的是()A.2,2，2，2,2,2，2，2，B.1,1，1,1，1，C.0,2,4,6,8,10，D.a1，a2，a3，a4，(2)已知数列an的前n项和Sn2an，求证：数列an是等比数列.【精彩点拨】(1)利用等比数列的定义判定.(2)先利用Sn与an的关系，探求an，然后利用等比数列的定义判定.【自主解答】(1)A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A.B.由等比数列定义知该数列为等比数列.C.等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列.D.当a0时，该数列不是等比数列；当a0时，该数列为等比数列.【答案】B(2)证明：Sn2an，Sn12an1.an1Sn1Sn(2an1)(2an)anan1，an1an.又S12a1，a110.又由an1an知an0，an是等比数列.判断一个数列an是等比数列的方法：(1)定义法：若数列an满足q(q为常数且不为零)或q(n2，q为常数且不为零)，则数列an是等比数列.(2)等比中项法：对于数列an，若a,anan2且an0，则数列an是等比数列.(3)通项公式法：若数列an的通项公式为ana1qn1(a10，q0)，则数列an是等比数列.再练一题1.已知数列an是首项为2，公差为1的等差数列，令bnan，求证数列bn是等比数列，并求其通项公式.【证明】由已知得，an2(n1)(1)3n，故2，数列bn是等比数列.b1，bn2n12n3.等比中项(1)等比数列an中，a1，q2，则a4与a8的等比中项是()A.4B.4C.D.(2)已知b是a，c的等比中项，求证：abbc是a2b2与b2c2的等比中项. 【导学号：18082031】【精彩点拨】(1)用定义求等比中项.(2)证明(abbc)2(a2b2)(b2c2)即可.【自主解答】(1)由an2n12n4知，a41，a824，所以a4与a8的等比中项为4.【答案】A(2)证明：b是a，c的等比中项，则b2ac，且a，b，c均不为零，又(a2b2)(b2c2)a2b2a2c2b4b2c2a2b22a2c2b2c2，(abbc)2a2b22ab2cb2c2a2b22a2c2b2c2，所以(abbc)2(a2b2)(b2c2)，即abbc是a2b2与b2c2的等比中项.等比中项应用的三点注意：(1)由等比中项的定义可知G2abG，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)a，G，b成等比数列等价于G2ab(ab0).再练一题2.设等差数列an的公差d不为0，a19d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于()A.2 B.4 C.6 D.8【解析】an(n8)d，又aa1a2k，(k8)d29d(2k8)d，解得k2(舍去)，k4.【答案】B探究共研型等比数列的通项公式探究1类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为a1，公比为q的等比数列an的通项公式吗？【提示】由等比数列的定义可知：a2a1q，a3a2qa1q2，a4a3qa1q3，a5a4qa1q4由此归纳等比数列an的通项公式为ana1qn1.探究2由等比数列的定义式q(q0)你能用累乘法求出用首项a1，公比q表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项am及公比q表示an吗？【提示】由q，知q，q，q，q，将以上各式两边分别相乘可得qn1，则ana1qn1；由两式相比得qnm，则anamqnm，事实上该式为等比数列通项公式的推广.探究3在等比数列的通项公式ana1qn1中，若已知a12，q，你能求出a3吗？若已知a12，a38，你能求出公比q吗？这说明了什么？【提示】若a12，q，则a32；若a12，a38，则2q28，所以q2，由此说明在ana1qn1中所含四个量中能“知三求一”.(1)在等比数列an中，已知a2a518，a3a69，an1，求n；(2)已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，求数列an的通项公式an.【精彩点拨】(1)先由a2a518，a3a69，列出方程组，求出a1，q，然后再由an1解出n.(2)根据条件求出基本量a1，q，再求通项公式.【自主解答】(1)法一因为由得q，从而a132.又an1，所以321，即26n20，所以n6.法二因为a3a6q(a2a5)，所以q.由a1qa1q418，得a132.由ana1qn11，得n6.(2)由2(anan2)5an12q25q20q2或，由aa10a1q90a10，又数列an递增，所以q2.aa100(a1q4)2a1q9a1q2，所以数列an的通项公式为an2n.1.等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.2.关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.再练一题3.在等比数列an中，(1)若它的前三项分别为5，15,45，求a5；(2)若a42，a78，求an. 【导学号：18082032】【解】(1)a5a1q4，而a15，q3，a5405.(2)因为所以由得q34，从而q，而a1q32，于是a1，所以ana1qn12. 1.在等比数列an中，若a10，a218，a48，则公比q等于(A. B. C. D.或【解析】由解得或又a10，因此q.【答案】C2.如果1，a，b，c，9成等比数列，那么()A.b3，ac9B.b3，ac9C.b3，ac9D.b3，ac9【解析】因为b2(1)(9)9，a21bb0，所以b0，所以b3，且a，c必同号.所以acb29.【答案】B3.在等比数列an中，若a33，a46，则a5_.【解析】法一：由q2，所以a5a4q12.法二：由等比数列的定义知，a3，a4，a5成等比数列，aa3a5，a512.【答案】124.已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an_.【解析】由已知可知(a1)2(a1)(a4)，解得a5，所以a14，a26，所以q，所以an4.【答案】45.在等比数列an中，a332，a58，(1)求数列an的通项公式an；(2)若an，求n.【解】(1)因为a5a3q2，所以q2.所以q.当q时，ana3qn33228n；当q时，ana3qn332.所以an28n或an32.(2)当an时，28n或32 ，解得n9.
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