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课时作业27平面向量的数量积与应用举例 基础达标一、选择题1已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|()A1B.C2 D4解析：因为2ab与b垂直，所以(2ab)b0，所以3n20，解得n23，所以|a|2.答案：C22019云南省第一次统一检测在ABCD中，|8，|6，N为DC的中点，2，则()A48 B36C24 D12解析：()()22826224，故选C.答案：C32019石家庄检测若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|b|，则向量ab与a的夹角为()A. B.C. D.解析：|ab|ab|，|ab|2|ab|2，ab0.又|ab|2|b|，|ab|24|b|2，|a|23|b|2，|a|b|，cosab，a，故ab与a的夹角为.答案：A42019陕西西安地区八校联考已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是()A3 BC3 D.解析：依题意得，(2，1)，(5,5)，(2，1)(5,5)15，|，因此向量在方向上的投影是3，选A.答案：A52019惠州市调研考试若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C正三角形 D等腰直角三角形解析：()(2)0，即()0，()()0，即|，ABC是等腰三角形答案：A62019云南省高三11校跨区调研考试平面向量a与b的夹角为45，a(1,1)，|b|2，则|3ab|等于()A136 B2C. D.解析：依题意得a22，ab2cos452，|3ab|，选D.答案：D72019石家庄高中模拟考试已知B是以线段AC为直径的圆上的一点(异于点A，C)，其中|AB|2，则()A1 B2C3 D4解析：连接BC，AC为直径，ABC90，ABBC，在上的投影|cos，|2，|cos，4.故选D.答案：D82019武汉市高中调研测试已知平面向量a，b，e满足|e|1，ae1，be2，|ab|2，则ab的最大值为()A1 B2C D解析：不妨设e(1,0)，则a(1，m)，b(2，n)(m，nR)，则ab(1，mn)，所以|ab|2，所以(mn)23，即3m2n22mn2mn2mn4mn，当且仅当mn时等号成立，所以mn，所以ab2mn，综上可得ab的最大值为.故选D.答案：D92019呼伦贝尔模拟O是平面上一定点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足：()，(0，)，则直线AP一定通过ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心解析：如图，取BC中点D.因为()，()，即2，所以A，P，D三点共线，所以AP一定通过ABC的重心答案：C102018天津卷如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则的最小值为()A. B.C. D3解析：本题主要考查数量积的综合应用解法一如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(0，)，令E(0，t)，t0，(1，t)t2t，t0，当t时，取得最小值，()min.故选A.解法二令(01)，由已知可得DC，()()|22|232.当时，取得最小值.故选A.答案：A二、填空题112019广东五校高三第一次考试已知向量a(1，)，b(3，m)，且b在a上的投影为3，则向量a与b的夹角为_解析：因为ab3m，|a|2，|b|，由|b|cosa，b3可得|b|3，故3，解得m，故|b|2，故cosa，b，故a，b，即向量a与b的夹角为.答案：12已知e1，e2 是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.解析：e1e2，|e1|e2|cose1，e2，e1，e260.又be1be210，b，e1b，e230.由be11，得|b|e1|cos301，|b|.答案：13已知平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，若|a|b|2，|c|1，则|abc|_.解析：平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，它们两两所成的角为120.|abc|2(abc)2ab2c22ab2bc2ac|a|2|b|2|c|22|a|b|cos1202|b|c|cos1202|a|c|cos1202222122222212211，|abc|1.答案：1142018上海卷在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)、B(2,0)，E、F是y轴上的两个动点，且|2，则的最小值为_解析：本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问题设E(0，m)，F(0，n)，又A(1,0)，B(2,0)，(1，m)，(2，n)2mn，又知|2，|mn|2.当mn2时，mn2(n2)n2n22n2(n1)23.当n1，即E的坐标为(0,1)，F的坐标为(0，1)时，取得最小值3.当mn2时，mn2(n2)n2n22n2(n1)23.当n1，即E的坐标为(0，1)，F为坐标为(0,1)时，取得最小值3.综上可知，的最小值为3.答案：3能力挑战152018浙江卷已知a，b，e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是()A.1 B.1C2 D2解析：本小题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离设a，b，e，以O为原点，的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则E(1,0)不妨设A点在第一象限，a与e的夹角为，点A在从原点出发，倾斜角为，且在第一象限内的射线上设B(x，y)，由b24eb30，得x2y24x30，即(x2)2y21，即点B在圆(x2)2y21上运动而ab，|ab|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值，即为圆心(2,0)到射线yx(x0)的距离减去圆的半径，所以|ab|min1.选A.一题多解将b24eb30转化为b24eb3e20，即(be)(b3e)0，(be)(b3e)设e，a，b，3e，2e，则，点B在以M为圆心，1为半径的圆上运动，如图|ab|，|ab|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值，即为圆心M到射线OA的距离减去圆的半径|2，AOM，|ab|min2sin11.答案：A16定义平面向量的一种运算ab|ab|ab|sina，b，其中a，b是a与b的夹角，给出下列命题：若a，b90，则aba2b2；若|a|b|，则(ab)(ab)4ab；若|a|b|，则ab2|a|2；若a(1,2)，b(2,2)，则(ab)b.其中真命题的序号是_解析：中，因为a，b90，则ab|ab|ab|a2b2，所以成立；中，因为|a|b|，所以(ab)，(ab)90，所以(ab)(ab)|2a|2b|4|a|b|，所以不成立；中，因为|a|b|，所以ab|ab|ab|sina，b|ab|ab|2|a|2，所以成立；中，因为a(1,2)，b(2,2)，所以ab(1,4)，sin(ab)，b，所以(ab)b3，所以不成立答案：17如图，设(0，)，且.当xOy时，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：e1，e2分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，若xe1ye2，则记为(x，y)，那么在以下的结论中，正确的是_(填序号)设a(m，n)，b(s，t)，若ab，则ms，nt；设a(m，n)，则|a|；设a(m，n)，b(s，t)，若ab，则mtns0；设a(m，n)，b(s，t)，若ab，则msnt0；设a(1,2)，b(2,1)，若a与b的夹角为，则.解析：显然正确；|a|me1ne2|，因为，所以错误；由ab，得ba(R)，所以sm，tn，所以mtns0，故正确；因为ab(me1ne2)(se1te2)msnt(mtns)cosmsnt，所以错误；根据夹角公式ab|a|b|cosa，b，又|a|b|，ab45e1e2，所以45e1e2(54e1e2)cos，故e1e2，即cos，所以，正确答案：
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