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复习课(二)圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程圆锥曲线的定义及标准方程在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查，标准方程在解答题中也会涉及，是高考解析几何的必考内容椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹标准方程1或1(ab0)1或1(a0，b0)y22px或y22px或x22py或x22py(p0)关系式a2b2c2a2b2c2典例(1)椭圆1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A2B4C6 D.(2)(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(3)双曲线16x29y2144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|PF2|64，则F1PF2_.解析(1)设椭圆的另一个焦点为F2，因为椭圆1上一点M到焦点F1的距离为2，即|MF1|2，又|MF1|MF2|2a10，所以|MF2|8.因为N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以|ON|MF2|4.(2)根据双曲线C的渐近线方程为yx，可知.又椭圆1的焦点坐标为(3,0)和(3,0)，所以a2b29.根据可知a24，b25，所以C的方程为1.(3)双曲线方程16x29y2144化简为1，即a29，b216，所以c225，解得a3，c5，所以F1(5,0)，F2(5,0)设 |PF1|m，|PF2|n，由双曲线的定义知|mn|2a6，又已知mn64，在PF1F2中，由余弦定理知cosF1PF2.所以F1PF260.答案(1)B(2)B(3)60类题通法求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2ny21(m0，n0)(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小1若中心在坐标原点的椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2，0)，则椭圆的标准方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D不妨设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意得，2a2b，c2，c2a2b2，(2)2(2b)2b2b220，得a24b280，故所求椭圆的标准方程为1.2已知P为抛物线yx2上的动点，点P在x轴上的射影为Q，A，则|PA|PQ|的最小值是()A. B.C. D10解析：选C抛物线的准线方程为y.设抛物线的焦点为F，则F.根据抛物线的定义可得|PQ|PF|，所以|PA|PQ|PF|PA|.所以|PA|PQ|的最小值为|FA|.圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容，高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考查，试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查椭圆、双曲线、抛物线的几何性质椭圆双曲线抛物线标准方程1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)关系式a2b2c2a2b2c2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率0e1e1准线方程x决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小典例(1)已知双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为()A. B.C.或 D.(2)已知椭圆1(ab0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.设线段AB的中点为M，若220，则该椭圆的离心率的取值范围为()A(0，1 B.C. D(0，1解析(1)由双曲线的渐近线方程为yx，得或，又离心率e，所以e或e.(2)因为A(a,0)，B(0，b)，M，F(c,0)，所以，(c，b)，又220，所以2a22acc20，即e22e20，结合0e1得0e1.答案(1)C(2)A类题通法求解离心率三种方法定义法由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2b2c2(a2b2c2)以及e，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法方程法建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法几何法求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观1如果方程x2ky22表示焦点在x轴上，且焦距为的椭圆，则椭圆的短轴长为_解析：方程x2ky22可化为1，则22，短轴长为2.答案：2过双曲线1(a0，b0)的一个焦点且垂直于双曲线实轴的直线交双曲线于A，B两点若以AB为直径的圆恰过双曲线的一个顶点，则双曲线的离心率是_解析：设双曲线的左顶点为P，A位于第一象限，B位于第四象限，把xc代入双曲线方程1，得到|AF|yA，又|PF|ca，依题意知|AF|PF|，cab2aca2，又b2c2a2，c2a2aca2，两边同除以a2得到220e2e20，又e1，e2.答案：23已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x22py(p0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为_解析：c2a2b2，由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知，双曲线过点，即1.由|FA|c，得c2a2，由得p24b2.将代入，得2.2，即1，故双曲线的渐近线方程为yx，即xy0.答案：xy0直线与圆锥曲线的位置关系高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线问题参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式，则有：0直线与圆锥曲线相交于两点；0直线与圆锥曲线相切于一点；1)，则右焦点F(，0)，由题设，知3，解得a23，故所求椭圆的方程为y21.(2)设点P为弦MN的中点，由得(3k21)x26mkx3(m21)0，由于直线与椭圆有两个交点，所以0，即m2m2，解得0m0，解得m，故所求m的取值范围是.类题通法有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；b0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1，由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxn，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|x4x3| .由已知，四边形ACBD的面积S|CD|AB| .当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.1已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是()A2B.C. D.解析：选C由题可知yx与yx互相垂直，可得1，则ab.由离心率的计算公式，可得e22，e.2已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()Ax22y1 Bx22yCx2y Dx22y2解析：选A焦点为F(0,1)，设P(p，q)，则p24q.设Q(x，y)是线段PF的中点，则x，y，即p2x，q2y1，代入p24q得，(2x)24(2y1)，即x22y1.3已知直线ykx1与双曲线x21交于A，B两点，且|AB|8，则实数k的值为()A B或C D解析：选B由直线与双曲线交于A，B两点，得k2.将ykx1代入x21得(4k2)x22kx50，则4k24(4k2)50，k25.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|AB|8，解得k或.4.我们把由半椭圆1(x0)与半椭圆1(xbc0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点若F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为()A.，1 B.，1C5,3 D5,4解析：选A|OF2|，|OF0|c|OF2|，b1，a2b2c21，得a.5.如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点其四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. B.C. D.解析：选D焦点F1(，0)，F2(，0)，在RtAF1F2中，|AF1|AF2|4，|AF1|2|AF2|212，所以可解得|AF2|AF1|2，故a，所以双曲线的离心率e，选D.6若过点A(0，h)(h1)的两条直线l1和l2与椭圆E：y21都只有一个交点，且l1l2，则h的值为()A. B.C2 D.解析：选A由题意知l1，l2的斜率都存在且不为0.设l1：ykxh，则由l1l2，知l2：yxh，将l1：ykxh代入y21得(kxh)21，即(12k2)x24khx2h220，由l1与椭圆E只有一个交点知16k2h24(12k2)(2h22)0，即12k2h2.同理，由l2与椭圆E只有一个交点知，1h2，得k2，即k21，从而h212k23，即h.7已知双曲线1(a0，b0)的实轴长为4，离心率为，则双曲线的方程为_解析：因为双曲线1(a0，b0)的实轴长为4，所以a2，由离心率为，可得，c2，所以b4，则双曲线的方程为1.答案：18已知A(0，4)，B(3,2)，抛物线yx2上的点到直线AB的最短距离为_解析：直线AB为2xy40，设抛物线yx2上的点P(t，t2)，d.答案：9(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.解析：法一：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a1，b2，所以N(0,4)，|FN|6.法二：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.答案：610如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，若它的一个顶点恰好是抛物线x24y的焦点(1)求椭圆C的方程；(2)直线x2与椭圆C交于P，Q两点，点P位于第一象限，A，B是椭圆C上位于直线x2两侧的动点若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)抛物线x24y的焦点是(0，)，b.由，a2b2c2，得a2，椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为yxt，联立得x22tx2t240，则x1x22t，x1x22t24.在1中，令x2，得P(2,1)，Q(2，1)四边形APBQ的面积SSAPQSBPQ|PQ|x2x1|2|x2x1|x2x1|.当t0时，Smax4.四边形APBQ面积的最大值为4.11已知经过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py(p0)相交于B，C.(1)当直线l的斜率是时，求抛物线G的方程；(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知得，直线l的方程为y(x4)，即x2y4.由得2y2(8p)y80，则y1y2，y1y24，又因为，所以y2y1或y14y2.由p0得，y14，y21，p2，所以抛物线G的方程为x24y.(2)由题意知l的斜率存在设l：yk(x4)，BC中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0.所以x02k，y0k(x04)2k24k.所以BC的垂直平分线的方程为y2k24k(x2k)，所以BC的垂直平分线在y轴上的截距为b2k24k22(k1)2，对于方程由16k264k0得k0或k4.所以b(2，)所以b的取值范围为(2，)
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