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第2讲参数方程考纲解读了解参数方程及参数的意义，掌握直线、圆及椭圆的参数方程，并能利用参数方程解决问题(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考点. 预测2020年将会考查：参数方程与普通方程的互化及直线与椭圆参数方程的应用.1曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数2常见曲线的参数方程和普通方程提醒：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离1概念辨析(1)直线(t为参数)的倾斜角为30.()(2)过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量()(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆()(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t，点O为原点，则直线OM的斜率为.()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为_答案解析因为所以3x2y7，此直线的斜率为.(2)椭圆(为参数)的离心率为_答案解析将消去参数，得椭圆1.所以a225，b29，c2a2b216，所以a5，b3，c4，所以离心率e.(3)曲线C的参数方程为(为参数)，则曲线C的普通方程为_答案y22x2(1x1)解析由(为参数)消去参数，得y22x2(1x1)题型 参数方程与普通方程的互化1求直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数解将消去参数t得直线xy10；将消去参数，得圆x2y29.又圆心(0,0)到直线xy10的距离d3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点2如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，求圆x2y2x0的参数方程解如图，圆的半径为，记圆心为C，连接CP，则PCx2，故xPcos2cos2，yPsin2sincos(为参数)所以圆的参数方程为(为参数)条件探究把举例说明1中“曲线(为参数)”改为“”其他条件不变，求两条曲线交点的坐标解由(sincos)21sin22(1sin2)，得y22x.又因为x1sin20,2，所以所求普通方程为y22x，x0,2解方程组得或又因为x0,2，所以交点坐标为.1参数方程化为普通方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有：代入消元法；加减消元法；恒等式(三角的或代数的)消元法；平方后再加减消元法等其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程组的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2cos21等2普通方程化为参数方程(1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值(2)解题的一般步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t；第二步，确定参数t与变量x或y的一个关系式xf(t)(或y(t)；第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x，y)0，求得另一关系yg(t)(或x(t)，问题得解 在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长解将直线l的参数方程化为普通方程，得4x3y4，将曲线C的参数方程化为普通方程，得y24x，联立方程解得或所以A(4,4)，B或A，B(4,4)所以AB.题型 参数方程的应用角度1利用参数方程解最值问题1在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(0,2)，曲线C2的参数方程为(t为参数)(1)求曲线C1，C2的普通方程；(2)求曲线C1上一点P到曲线C2的距离的最大值解(1)由题意知，曲线C1的普通方程为x21，曲线C2的普通方程为xy20.(2)设点P的坐标为(cos，3sin)，则点P到直线C2的距离d，所以当sin1，即时，dmax2，即点P到曲线C2的距离的最大值为2.角度2参数几何意义的应用2(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率解(1)曲线C的直角坐标方程为1.当cos0时，l的直角坐标方程为ytanx2tan，当cos0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cossin0，于是直线l的斜率ktan2.1设直线l的参数方程为(t为参数)，直线的参数方程在交点问题中的应用(1)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|t1t2|，|t2t1|.(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3.(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1t20，t1t20，即a0，根据参数方程中参数的几何意义可知|AB|t1t2|8，a2.题型 极坐标方程和参数方程的综合应用(2019贵州联考)已知在一个极坐标系中，点C的极坐标为.(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程解(1)如图，设圆C上任意一点A(，)，则AOC或.由余弦定理得，424cos4，所以圆C的极坐标方程为4cos.(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(12cos，2sin)，又令M(x，y)，由Q(5，)，M是线段PQ的中点，得点M的轨迹的参数方程为(为参数)，即(为参数)，点M的轨迹的普通方程为(x3)2y21.极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长可先求出直角坐标方程，然后求解(2)判断位置关系先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题 (2017全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cossin)0，M为l3与C的交点，求M的极径解(1)消去参数t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y(x2)设P(x，y)，由题设得消去k得x2y24(y0)，所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)，联立得cossin2(cossin)故tan，从而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交点M的极径为.
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