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课时分层作业(十六)数学归纳法(建议用时：40分钟)基础达标练一、选择题1用数学归纳法证明3nn3(n3，nN*)，第一步验证()An1Bn2Cn3 Dn4C由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立2设Sk，则Sk1为()ASk BSkCSk DSkC因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk，得Sk1.由，得Sk1Sk.故Sk1Sk.3利用数学归纳法证明不等式1n(n2，nN*)的过程中，由nk变到nk1时，左边增加了() 【导学号：31062168】A1项 Bk项C2k1项 D2k项D当nk时，不等式左边的最后一项为，而当nk1时，最后一项为，并且不等式左边和分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项4对于不等式n1(nN)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则nk1时，2的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对B由nk时命题成立可以推出nk2时命题也成立且n2，故对所有的正偶数都成立二、填空题6用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN*)”时，第一步的验证为_解析当n1时，左右，不等式成立，nN*，第一步的验证为n1的情形答案当n1时，左边4，右边4，左右，不等式成立7用数学归纳法证明(11)(22)(33)(nn)2n1(n2n)时，从nk到nk1左边需要添加的因式是_. 【导学号：31062170】解析当nk时，左端为：(11)(22)(kk)，当nk1时，左端为：(11)(22)(kk)(k1k1)，由k到k1需添加的因式为：(2k2)答案2k28数列an中，已知a12，an1(nN*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为_解析a12，a2，a3，a4，猜测an.答案an三、解答题9(1)用数学归纳法证明：12223242(1)n1n2(1)n1(nN*)(2)求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)解(1)当n1时，左边121，右边(1)01，左边右边，等式成立假设nk(kN*)时，等式成立，即12223242(1)k1k2(1)k1.则当nk1时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k.当nk1时，等式也成立，根据、可知，对于任何nN*等式成立(2)n1时，左边12223，右边3，等式成立假设nk时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)2.当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时，等式也成立由得，等式对任何nN*都成立10已知fn(x)满足f1(x)(x0)，fn1(x)f1(fn(x). (1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表达式；(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想. 【导学号：31062171】解(1)f2(x)f1f1(x)，f3(x)f1f2(x)猜想：fn(x)，(nN*)(2)下面用数学归纳法证明 ，fn(x)(nN*)当n1时，f1(x)，显然成立；假设当nk(kN*)时，猜想成立，即fk(x)，则当nk1时，fk1f1fk(x)，即对nk1时，猜想也成立；结合可知，猜想fn(x)对一切nN*都成立能力提升练1利用数学归纳法证明1(nN*，且n2)时，第二步由k到k1时不等式左端的变化是()A增加了这一项B增加了和两项C增加了和两项，同时减少了这一项D以上都不对C不等式左端共有n1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当nk时，左端为；当nk1时，左端为，对比两式，可得结论2某命题与自然数有关，如果当nk(kN*)时该命题成立，则可推得nk1时该命题也成立，现已知当n5时该命题不成立，则可推得() 【导学号：31062172】A当n6时，该命题不成立B当n6时，该命题成立C当n4时，该命题不成立D当n4时，该命题成立C若n4时，该命题成立，由条件可推得n5命题成立它的逆否命题为：若n5不成立，则n4时该命题也不成立3记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.解析由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k1)f(k).答案4对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除，则最小的自然数a_. 【导学号：31062173】解析当n1时，36a3能被14整除的数为a3或5；当a3且n2时，31035不能被14整除，故a5.答案55是否存在a，b，c使等式2222对一切nN*都成立，若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论解取n1,2,3可得，解得：a，b，c.下面用数学归纳法证明2222.即证1222n2n(n1)(2n1)，n1时，左边1，右边1，等式成立；假设nk时等式成立，即1222k2k(k1)(2k1)成立，则当nk1时，等式左边1222k2(k1)2k(k1)(2k1)(k1)2k(k1)(2k1)6(k1)2(k1)(2k27k6)(k1)(k2)(2k3)，当nk1时等式成立；由数学归纳法，综合当nN*等式成立，故存在a，b，c使已知等式成立
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