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2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征【选题明细表】 知识点、方法题号众数、中位数、平均数的理解与计算2,3,7,8应用频率分布直方图求众数、中位数、平均数5,12方差(标准差)的理解与计算1,3,4,6,10综合应用9,111.(2017全国卷)为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(B)(A)x1,x2,xn的平均数(B)x1,x2,xn的标准差(C)x1,x2,xn的最大值(D)x1,x2,xn的中位数解析:标准差衡量样本的稳定程度,故选B.2.(2017湖北荆州中学月考)如图,茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的平均数为17,乙组数据的中位数为17,则x,y的值分别为(D)(A) 2,6(B) 2,7(C) 3,6(D) 3,7解析:由题可知9+12+24+27+10+x5=17,所以x=3,由乙组数据的中位数为17可得y=7,选D.3.(2017四川三台中学月考)为了了解某同学的数学学习情况,对他的6次数学测试成绩进行统计,作出的茎叶图如图所示,则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是(C)(A)中位数为83(B)众数为85(C)平均数为85(D)方差为19解析:由茎叶图可知,该同学的6次数学测试成绩分别是78,83,83,85,91,90,由这些数据可求得该同学数学成绩的众数为83,中位数为84,平均数为x=78+83+83+85+91+906=85,方差为s2=16(78-85)2+(83-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(91-85)2+(90-85)219.7,故选C.4.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如表,则这100人成绩的标准差为(B)分数54321人数2010303010(A)3(B)2105 (C)3(D)85解析:因为x=100+40+90+60+10100=3.所以s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2=1100(2022+1012+3012+1022)=160100=85,所以s=2105.故选B.5.(2018山东临沂期中)某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随机抽出100名司机,已知抽到的司机年龄都在20,45)岁之间,根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示,利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数是(C)(A)31.6岁(B)32.6岁(C)33.6岁(D)36.6岁解析:根据所给的信息可知,在区间25,30)上的数据的频率为1-(0.01+0.07+0.06+0.02)5=0.2.故中位数在第3组,且中位数的估计为30+(35-30)57=33.6(岁).6.样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的两根,则这个样本的方差是.解析:x2-5x+4=0的两根是1,4.当a=1时,a,3,5,7的平均数是4;当a=4时,a,3,5,7的平均数不是1.所以a=1,b=4.则方差s2=14(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2=5.答案:57.(2018河南商丘二模)世界那么大,我想去看看,每年高考结束后,处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈,旅游可支配收入日益增多,可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,相关部门随机抽取了某市的1 000名毕业生进行问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:组别0,20)20,40)40,60)60,80)80,100频数22504502908则所得样本的中位数是(精确到百元).解析:设样本的中位数为x,则21 000+2501 000+4501 000(x-40)20=0.5,解得x51,所得样本中位数为51(百元).答案:518.(2017山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为(A)(A)3,5(B) 5,5(C) 3,7 (D) 5,7解析:甲组数据的中位数为65,由甲、乙两组数据的中位数相等得y=5,又甲、乙两组数据的平均值相等,所以15(56+65+62+74+70+x)=15(59+61+67+65+78),所以x=3.故选A.9.为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数成等比数列,后6组的频数成等差数列,设最大频率为a,视力在4.6到5.0之间的学生数为b,则a,b的值分别为(A)(A)0.27,78(B)0.27,83(C)2.7,78(D)2.7,83解析:由题意,4.5到4.6之间的频率为0.09,4.6到4.7之间的频率为0.27,后6组的频数成等差数列,设公差为d,则60.27+15d=1-0.01-0.03-0.09,所以d=-0.05.所以b=(0.274+6d)100=78,a=0.27.故选A.10.(2017广东珠海月考)在一次区域统考中,为了了解各学科的成绩情况,从所有考生成绩中随机抽出20位考生的成绩进行统计分析,其中数学学科的频率分布直方图如图所示,据此估计,在本次考试中数学成绩的方差为.解析:根据频率分布直方图,得该组数据的平均数是x=550.01010+650.02010+750.03510+850.03010+950.00510=75;方差是s2=(55-75)20.1+(65-75)20.2+(75-75)20.35+(85-75)2 0.3+(95-75)20.05=110.答案:11011.(2018贵州贵阳高一检测)农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况,从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高,数据如下(单位:cm):甲:9,10,11,12,10,20乙:8,14,13,10,12,21(1)绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图;(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差,并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况.解:(1)茎叶图如图所示.(2)x甲=9+10+11+12+10+206=12,x乙=8+14+13+10+12+216=13,s甲2=16(9-12)2+(10-12)2+(11-12)2+(12-12)2+(10-12)2+(20-12)213.67,s乙2=16(8-13)2+(14-13)2+(13-13)2+(10-13)2+(12-13)2+(21-13)216.67.因为x甲x乙,所以乙种麦苗平均株高较高,又因为s甲2s乙2,所以甲种麦苗长的较为整齐.12.(2018四川内江期中)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:质量指标值分组75,85)85,95)95,105)105,115)115,125频数62638228(1)作出这些数据的频率分布直方图;(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?解:(1)频率分布直方图如图所示.(2)质量指标值的样本平均数为x=800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08=100.质量指标值的样本方差为s2=(80-100)20.06+(90-100)20.26+(100-100)20.38+(110-100)20.22+(120-100)20.08=104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.
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