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QG 理科 数学 数学 数学 数学 决胜高考 专案突破 名师诊断 对点集训 考情报告 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 考向预测 数列一直是高考的重点与热点 由于它既具有函数特征 又能构成独特的递推关系 使得它既与中学数学其他部分知识 如 函数 方程 不等式 解析几何 二项式定理等有较紧密的联系 又有自己鲜明的特征 因此在高考中占有极其重要的地位 以考查数列的通项公式 前n项和及数列的基本性质为主要内容 在试卷中约占10分或12分 一个选择题和一个填空题 或一道解答题 小题一般为概念性问题 常用等差数列 等比数列的概念和性质来解决 属于中低档题 而大题的综合性较强 常从数列的递推关系入手 再转化为等差数列和等比数列中的求通项或求和 考查学生数学思维能力和分析 建模 解 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 决问题的能力以及函数与方程的思想 转化与化归的思想 分类讨论的思想 复习时仍应当以基础知识为主 不要片面追求难度 数列可视为一种特殊的函数 因此可以用函数的观点来解决数列问题 知能诊断 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 已知数列 an 中 a1 1 a2 2 2an 1 2an 3 n 2 n N 判断 an 是否为等差数列 解析 a2 a1 1 a3 a2 an 不是等差数列 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 黑龙江省哈六中2012届高三第三次模拟 已知数列 an 的前n项和为Sn 且an 1 5Sn 3 a1 1 则 an 的通项公式是 解析 由an 1 5Sn 3 得an 5Sn 1 3 n 2 两式相减得an 1 an 5an 即 6 n 2 由a1 1 得a2 2 6 故an 答案 an 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 3 2012年3月北京市丰台区高三一模 设Sn为等比数列 an 的前n项和 若a1 1 且2a2 S3 a4 2成等差数列 则数列 的前5项和为 A 341 B C 1023 D 1024 解析 由2S3 2a2 a4 2 得q 2 则 的公比为4 S5 341 答案 A 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 4 在公差不为0的等差数列 an 中 a1 a3 a7成等比数列 S7 35 求数列通项an 解析 由S7 35 得 35 即2a1 6d 10 a4 5 又 a1a7 即 a4 d 2 a4 3d a4 3d 得d 1 故an a4 n 4 d n 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 求数列 an 的公差 2 设Sn为数列 an 的前n项和 求Sn的最小值 并求出此时n的值 解析 1 由a8 a9 a11成等比数列知 a1 8d 2 a1 7d a1 10d 即16a1d 64d2 17a1d 70d2 整理得a1d 6d2 0 因为d 0 所以a1 6d 从而d 2 即数列 an 的公差为2 5 陕西省西安市八校2012届高三年级数学试题 在公差不为0的等差数列 an 中 a1 12 且a8 a9 a11成等比数列 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 法一 由 1 可知Sn 12n n n 1 n2 13n 因为n2 13n n 2 且n N 所以当n 6或7时 n2 13n有最小值 42 因此 Sn的最小值为 42 此时的n为6或7 法二 由 1 可知数列 an 的通项公式为an 2n 14 令an 0 得n 7 据数列 an 单调递增可知 其前6项均为负项 第7项为0 从第8项开始均为正项 所以S6 S7 且均为Sn的最小值 最小值为 42 此时的n为6或7 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 6 已知数列 an 是首项a1 的等比数列 其前n项和Sn中S3 求数列 an 的通项公式 解析 若q 1 则S3 不符合题意 q 1 当q 1时 由得 an n 1 n 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 7 东北四校2012届高三第一次高考模拟 已知 an 为等比数列 a1 1 a6 243 Sn为等差数列 bn 的前n项和 b1 3 S5 35 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 设Tn a1b1 a2b2 anbn 求Tn 解析 1 a6 a1q5 243 得q 3 an 3n 1 S5 35 b5 11 又b1 3 得bn 2n 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 Tn 3 1 5 3 2n 1 3n 2 2n 1 3n 1 3Tn 3 3 5 32 2n 1 3n 1 2n 1 3n 得 2Tn 3 2 3 32 3n 1 2n 1 3n 整理得 Tn n 3n 诊断参考 1 应用an与Sn的关系解题时 一般要分n 1和n 2来讨论 要注意验证能否统一到一个式子中 当a1不符合an Sn Sn 1 n 2 的表达式时 通项公式必须分段表示 注意隐含条件n 2 n N 要验证是不是从第一项开始 2 等差数列求Sn最值的结论为 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 当a1 0 d 0时 若Sr最大 则应有 2 当a10时 若Sr最小 则应有 仅解不等式an 0是不正确的 仅解an 1 0也是不正确的 3 等差 等比数列综合时 要分清谁是等差 谁是等比 灵活运用公式 等差an am n m d 等比an amqn m 使运算简便 尤其是求通项公式时 不一定求a1 可以利用已知求得am 等比数列不一定求q 求出q3或q2有时可以直接利用 减少运算量 在求等比数列前n项和时 注意分q 1 q 1两种情况讨论 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 4 用错位相减求和时注意 1 写出qSn的倒数第二项 以便相减 2 Sn qSn的第一项不要丢掉 3 Sn qSn的最后一项是减号 4 用公式求和时要注意项数 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 核心知识 一 等差 等比数列的概念 判定 公式与性质 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 二 判断或证明数列是等差 或等比 的方法 1 定义法 验证an 1 an d 常数 或 q 常数 2 中项公式法 验证2an an m an m或 an m an m 3 通项公式法 1 数列 an 为等差数列 an An B A B为常数 n N 2 数列 an 为等比数列 an cqn c q均是不为0的常数 n N 三 求通项公式的常用方法 1 观察法 找到项与项数的关系 然后猜想检验 即得通项公式an 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 利用前n项和与通项的关系 an 3 公式法 利用等差 比 数列的通项公式 4 累加法 如an 1 an f n 累乘法 如 f n 5 转化法 1 an 1 Aan B A 0 A 1 可以通过待定系数法an 1 A an 求出 化为等比数列后 再求通项 2 an 1 can rn c 0 r 0 可以通过两边除以rn 1 转化为类型 1 求解 四 数列的常用求和方法 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 数列求和要先研究数列的通项 根据通项选择方法 化归为基本数列求和 1 公式法 用等差 比 数列的求和公式 2 分组求和法 若cn an bn 则用分组求和法 3 错位相减法 若cn an bn an 是等差数列 bn 是等比数列 则用错位相减法 4 裂项相消法 形如cn 其中 an 为等差数列 5 倒序相加法 若cn an m 0 n 即数列 cn 的通项公式是由一个组合数和等差数列通项公式组成 则一般采用 倒序相加法 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 五 常用的结论 1 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 1 若a1 0 d 0 则当且仅当时 Sn取最大值 2 若a10 则当且仅当时 Sn取最小值 2 常用拆项公式 k n N 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 3 若 an 是等差数列 公差为d d 0 则 4 5 n n n 1 n 考点突破 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 热点一 数列的概念与性质 数列的概念 性质及其基本量的关系是高考中经常考查的内容 一般出现在选择题 填空题或解答题的第一问 属于容易题或中档题 主要考查数列性质的灵活应用及对概念的理解 1 广东省六校2012年2月高三第三次联考 等差数列 an 中 已知a3 5 a2 a5 12 an 29 则n为 A 13 B 14 C 15 D 16 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 2012年 新课标全国 已知 an 为等比数列 a4 a7 2 a5a6 8 则a1 a10 A 7 B 5 C 5 D 7 分析 1 a2 a5不能用等差中项 故用基本量 又已知a3 所以a2 a5 a3 d a3 2d 12 求得公差 结合an 29可解 2 要看清 an 为等比数列 所以a5a6 a4a7 然后用基本量表示 根据韦达定理构造方程 解方程得出a4 a7的值 或是解方程组 然后求出q3即可 后面直接用q3 减少计算量 解析 1 a2 a5 a3 d a3 2d 12 得d 2 an a3 n 3 d 29 得n 15 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 由题意并根据等比数列的性质得a5a6 a4a7 8 又a4 a7 2 设a4 a7是方程x2 2x 8 0的两根 则解得或故q3 2或 当q3 2时 a1 a10 a7q3 7 同理可知当q3 时 a1 a10 7 故a1 a10 7 故选D 答案 1 C 2 D 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 归纳拓展 关于等差 等比数列的问题 首先应抓住a1 d q 通过列方程组来解 此方法具有极大的普遍性 需用心掌握 但有时运算量较大 熟练运用性质或公式特征量可大幅度简化运算 运用an am n m d和an amqn m可减少运算量 方程思想 分类讨论思想是解决数列的常用思想方法 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 变式训练1 1 等差数列 an 中 a4 10且a3 a6 a10成等比数列 则数列 an 前20项的和S20 2 山东省实验中学2012届高三第四次诊断考试 等差数列 an 中 a4 a10 a16 30 则a18 2a14的值为 解析 1 由a4 10和a3 a6 a10成等比数列得 即 解得或 故S20 200或330 2 由a4 a10 a16 30得a10 10 a18 2a14 a10 8d 2 a10 4d a10 10 答案 1 200或330 2 10 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 山东省济宁市重点中学2012届高三上学期期中 已知数列 an 的通项为an n 1 n 1 1 下列表述正确的是 A 最大项为0 最小项为 B 最大项为0 最小项不存在 C 最大项不存在 最小项为 D 最大项为0 最小项为a4 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若S4 10 S5 15 则a4的最大值为 分析 1 先求出数列的前四项 然后计算an 1 an的符号 从而确定数列的单调性 即可求出数列的最大项和最小项 2 根据S4 10 S5 15转化为基本量 减少参数 用一个参数的范围来求a4的范围 解析 1 a1 0 当n 1时 0 n 1 1 n 1 1 0 an最大项为a1 0 a2 2 1 2 1 1 a3 3 1 3 1 1 a4 4 1 4 1 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 an 1 an n n 1 n 1 n 1 1 n 1 当n 3时 an 1 an 0 n 3时 an 1 an 0 最小项为a3 故选A 2 等差数列 an 的前n项和为Sn 且S4 10 S5 15 即 a1 3 2d 3 2d d 1 a4 a1 2d d 3 d 3 1 4 故a4的最大值为4 答案 1 A 2 4 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 归纳拓展 1 本题主要考查了数列的函数特性 同时考查了计算能力 属于中档题 求数列的最大 最小项 一般可以先研究数列的单调性 可以用或也可以转化为函数最值问题或利用数形结合 2 由已知得出不等式 利用消元思想确定d或a1的范围是解题的关键 若题干中没有给出不等式 求d的范围 先要列出a1 d的等量关系 然后应用判别式法或配方法产生不等式 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 变式训练2 1 山东省烟台市2012届高三期末检测 已知数列 an 满足a1 a an an 1 2 定义数列 bn 使得bn n N 若4 a 6 则数列 bn 的最大项为 A b2 B b3 C b4 D b5 2 设a1 d为实数 首项为a1 公差为d的等差数列 an 的前n项和为Sn 满足S5S6 15 0 若S5 5 求S6及a1 求d的取值范围 解析 1 an a n 1 2 2n a 2 bn 解得a 2n 2 4 a 6 解得6 2n 8 2n 由此可知b3最大 当n 4时 bn 0 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 由题意知S6 3 a6 8 解得a1 7 S6 3 a1 7 S5S6 15 0 2 9a1d 10d2 1 0 4a1 9d 2 d2 8 d2 8 故d的取值范围为d 2或d 2 答案 1 B 2 S6 3 a1 7 d 2或d 2 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 数列的通项与求和是高考的热点 主要运用转化思想转化为等差 等比数列问题 其中求数列通项公式是核心 而求通项公式的常用方法有 定义法 公式法 累加法 累乘法 转化法等 主要考查性质的灵活运用及对概念的理解 考查基本技巧与基本思想方法 在求和问题中 既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律 又要注意项数 热点二 数列的通项与求和 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 A 32 B 64 C 32 D 64 1 湖北省荆门 天门等八市2012年3月高三联考 如果数列a1 是首项为1 公比为 的等比数列 则a5等于 2 2012年 新课标全国 数列 an 满足an 1 1 nan 2n 1 则 an 的前60项和为 分析 1 先分析通项 n 1 用累乘法 2 列出前几项 观察规律 解析 1 a5 a1 a1q1 2 3 4 10 32 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 由an 1 1 nan 2n 1得an 2 1 nan 1 2n 1 1 n 1 n 1an 2n 1 2n 1 an 1 n 2n 1 2n 1 即an 2 an 1 n 2n 1 2n 1 也有an 3 an 1 1 n 2n 1 2n 3 两式相加得an an 1 an 2 an 3 2 1 n 4n 4 设k为整数 则a4k 1 a4k 2 a4k 3 a4k 4 2 1 4k 1 4 4k 1 4 16k 10 于是S60 a4k 1 a4k 2 a4k 3 a4k 4 16k 10 1830 答案 1 A 2 1830 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 归纳拓展 形如an 1 an f n f n an 1 Aan B A 0 A 1 等 可通过累加法 累乘法 待定系数法转化为等差或等比数列求通项 由递推公式求通项公式 关键是数学式的变形 结合待定系数法进行适当的构造 或组合转化为等差数列或等比数列解决问题 通项公式是数列的灵魂 只有抓住它的特征 再去联想常用数列的求和方法 才能快速解题 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 变式训练3求满足下列条件的数列的通项公式 1 a1 1 an an 1 n 2 n N 2 a1 1 an 1 3an 2 解析 1 由已知得an an 1 用累加法得an a1 1 n 1 得an 2 n 1 2 an 1 3an 2 an 1 1 3 an 1 3 an 1 为等比数列 公比为3 an 1 a1 1 3n 1 an 2 3n 1 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2012烟台一模 已知数列 an 是公差为2的等差数列 且a1 1 a3 1 a7 1成等比数列 1 求 an 的通项公式 2 令bn n N 记数列 bn 的前n项和为Tn 求证 Tn 分析 1 利用等比中项列式 转化为求基本量 可求通项 2 由 1 求得an 看bn 的形式 可用裂项相消法求和 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解析 1 数列 an 是公差为2的等差数列 a1 1 a3 1 a7 1成等比数列 a3 a1 4 a7 a1 12 所以由 a3 1 2 a1 1 a7 1 得 a1 5 2 a1 1 a1 13 解之得a1 3 所以an 3 2 n 1 即an 2n 1 2 由 1 得an 2n 1 bn Tn 1 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 归纳拓展 解决等差数列或等比数列的相关问题时 基本量法 是常用的方法 等差中项 等比中项是常考的考点 若cn 数列 cn 的通项公式是一个分式结构 一般采用 裂项相消法 通项拆成两项之差求和 正负项相消剩下首尾若干项 注意 一般情况下剩下正负项的个数相同 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 变式训练4 北京市东城区2012年1月高三考试 在等差数列 an 中 a1 3 其前n项和为Sn 等比数列 bn 的各项均为正数 b1 1 公比为q 且b2 S2 12 q 1 求an与bn 2 数列 cn 满足cn 求 cn 的前n项和Tn 解析 1 设 an 的公差为d 解得q 3或q 4 舍 d 3 故an 3 3 n 1 3n bn 3n 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 Sn cn Tn 1 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 广东省惠州市2012届高三一模 已知数列 an 满足 a1 1 a2 且 3 1 n an 2 2an 2 1 n 1 0 n N 1 求a3 a4 a5 a6的值及数列 an 的通项公式 2 设bn a2n 1 a2n 求数列 bn 的前n项和Sn 分析 1 由于有 1 n 可按奇数 偶数进行分类 2 由bn a2n 1 a2n的形 式 可以看出用错位相减 通项bn的求法是关键 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解析 1 经计算a3 3 a4 a5 5 a6 当n为奇数时 an 2 an 2 即数列 an 的奇数项成等差数列 a2n 1 a1 n 1 2 2n 1 当n为偶数时 an 2 an 即数列 an 的偶数项成等比数列 a2n a2 n 1 n 因此 数列 an 的通项公式为an 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 bn 2n 1 n Sn 1 3 2 5 3 2n 3 n 1 2n 1 n Sn 1 2 3 3 5 4 2n 3 n 2n 1 n 1 得 Sn 1 2 2 3 n 2n 1 n 1 2n 1 n 1 2n 3 n 1 Sn 3 2n 3 n 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 归纳拓展 数列是一种特殊的函数 像分段函数一样数列通项可以分段表示 主要考查等差数列 等比数列的概念 用转化思想把递推关系式转化为等差 等比数列问题是解题的常用方法 若cn an bn 是等差数列 是等比数列 则主要用错位相减法求和 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 求a3 a4 并求数列 an 的通项公式 2 设bn 求数列 bn 的前n项和Sn 解析 1 因为a1 1 a2 2 所以a3 1 cos2 a1 sin2 a1 1 2 a4 1 cos2 a2 sin2 2a2 4 一般地 当n 2k 1 k N 时 a2k 1 1 cos2 a2k 1 sin2 a2k 1 1 即a2k 1 a2k 1 1 所以数列 a2k 1 是首项为1 公差为1的等差数列 因此a2k 1 k 变式训练5数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 1 cos2 an sin2 n 1 2 3 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 当n 2k k N 时 a2k 2 1 cos2 a2k sin2 2a2k 所以数列 a2k 是首项为2 公比为2的等比数列 因此a2k 2k 故数列 an 的通项公式为an 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 由 1 知 bn Sn Sn 得 Sn 1 所以Sn 2 2 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 天津市六校2012届高三第三次联考 已知数列 an bn 满足a1 2 an 1 an an 1 1 bn an 1 数列 bn 的前n项和为Sn 1 求证 数列 为等差数列 2 设Tn S2n Sn 求证 Tn 1 Tn 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 分析 1 用定义证明等差数列是常用方法 此题不容易凑成bn an 1的形式 所以考虑把an bn 1代入an 1 an an 1 1 两边同时除以bnbn 1 整理成的形式可得等差数列 2 先求Tn 数列与不等式综合 证明不等式可以考虑作差法 解析 1 由bn an 1得an bn 1 代入an 1 an an 1 1 得bn bn 1 bn 1 整理得bn bn 1 bnbn 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 bn 0 否则an 1 与a1 2矛盾 从而得 1 b1 a1 1 1 数列 是首项为1 公差为1的等差数列 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 n 则bn Sn 1 Tn S2n Sn 1 1 法一 Tn 1 Tn 0 Tn 1 Tn 法二 2n 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 Tn 1 Tn 0 Tn 1 Tn 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 归纳拓展 在解数列问题时 除常用数学思想方法的运用外 还要特别注意 在解题中一定要有 目标意识 此题为了出现目标 两边同时除以bnbn 1是常用的方法 求证等差数列 可从两个方面出发 一是等差数列的定义 即证an 1 an d 二是等差中项2an an m an m 数列与不等式综合 主要应用不等式的证明方法 作差法 放缩法 或转化为函数的最值问题 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 变式训练6 2012届广东省中山市四校12月联考 设数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 1 Sn 1 2Sn n 1 n N 1 求证 数列 an 1 为等比数列 2 若bn 数列 bn 的前n项和为Tn n N 证明 Tn 2 解析 1 Sn 1 2Sn n 1 当n 2时 Sn 2Sn 1 n 两式相减得 an 1 2an 1 an 1 1 2 an 1 即 2 又S2 2S1 2 a1 S1 1 a2 3 2 所以 是公比为2的等比数列 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 由 1 知an 2n 1 bn Tn Tn Tn 2 2 2 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 热点三 数列的综合应用 数列与其他分支知识的综合应用 一般是以数列与函数 方程 不等式 三角 解析几何等知识的综合应用为主 解决此类综合问题 首先要分析出在每个分支中各是什么问题 其次 要把整个大题分解成若干个小题或 步骤 使它们成为在各自分支中的基本问题 最后 分别求解这些小题或步骤 从而得到整个问题的结论 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 写出a2 a3的值 只写结果 并求出数列 an 的通项公式 2 设bn 若对任意的正整数n 当m 1 1 时 不等式t2 2mt bn恒成立 求实数t的取值范围 分析 1 由递推关系式可知用累加法求通项 2 对于bn的求法 由于是分式形式 可以考虑用裂项相消 对于恒成立问题 可以转化为函数的最值 先判断函数的单调性 解析 1 a1 2 an an 1 2n 0 n 2 n N a2 6 a3 12 当n 2时 an an 1 2n an 1 an 2 2 n 1 a3 a2 2 3 a2 a1 2 2 已知数列 an 中 a1 2 an an 1 2n 0 n 2 n N 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 an a1 2 n n 1 3 2 an 2 n n 1 3 2 1 n n 1 当n 1时 a1 1 1 1 2也满足上式 数列 an 的通项公式为an n n 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 bn 令f x 2x x 1 则f x 2 当x 1时 f x 0恒成立 f x 在x 1 上是增函数 故当x 1时 f x min f 1 3 即当n 1时 bn max 要使对任意的正整数n 当m 1 1 时 不等式t2 2mt bn恒成立 则须使t2 2mt bn max 即t2 2mt 0 对 m 1 1 恒成立 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解得 t 2或t 2 实数t的取值范围为 2 2 另解 bn 1 bn 0 数列 bn 是单调递减数列 bn max b1 要使对任意的正整数n 当m 1 1 时 不等式t2 2mt bn恒成立 则须使t2 2mt bn max 即t2 2mt 0 对 m 1 1 恒成立 解得 t 2或t 2 实数t的取值范围为 2 2 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 归纳拓展 数列是一种特殊的函数 要注意其特殊性 1 若用导数研究数列的单调性 最值等 要构造辅助函数 因为导数是对连续函数定义的 2 辅助函数的单调性与数列的单调性的联系与区别 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 变式训练7 2012 南昌期末 已知各项均为正数的数列 an 满足 2 anan 1 且a2 a4 2a3 4 其中n N 1 求数列 an 的通项公式 2 令cn 1 记数列 cn 的前n项积为Tn 其中n N 试比较Tn与9的大小 并加以证明 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解析 1 因为 2 anan 1 即 an 1 an 2an an 1 0 又an 0 所以有2an an 1 0 所以2an an 1 所以数列 an 是公比为2的等比数列 由a2 a4 2a3 4得2a1 8a1 8a1 4 解得a1 2 故数列 an 的通项公式为an 2n n N 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 构造函数f x ln 1 x x x 0 则f x 1 当x 0时 f x 0 即f x 在 0 上单调递减 所以f x f 0 0 ln 1 x x 0 所以lncn ln 1 ln 1 所以lnTn 记An 则An 所以有An An 1 1 即An 2 所以lnTn 2 所以Tn e2 9 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2012北京房山区一模 在直角坐标平面上有一点列P1 x1 y1 P2 x2 y2 Pn xn yn 对一切正整数n 点Pn位于函数y 3x 的图象上 且Pn的横坐标构成以 为首项 1为公差的等差数列 1 求点Pn的坐标 2 设抛物线列C1 C2 C3 Cn 中的每一条的对称轴都垂直于x轴 第n条抛物线Cn的顶点为Pn 且过点Dn 0 n2 1 记与抛物线Cn相切于Dn的直线的斜率为kn 求 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 3 设S T 等差数列的任一项an S T 其中a1是S T中的最大数 265 a10 125 求 an 的通项公式 分析 1 求点Pn的横坐标 即求等差数列的通项公式 2 直线与圆锥曲线相切问题可以用导数的几何意义解决 对于分式求和 用裂项相消法 3 数列与集合综合 先求S T是入手点 解析 1 xn n 1 1 n yn 3xn 3n Pn n 3n 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 Cn的对称轴垂直于x轴 且顶点为Pn 设Cn的方程为 y a x 2 把Dn 0 n2 1 代入上式 得a 1 Cn的方程为 y x2 2n 3 x n2 1 y 2x 2n 3 当x 0时 kn 2n 3 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 3 S T y y 2 6n 1 3 n N n 1 S T T T中最大数a1 17 设的公差为d 则a10 17 9d 265 125 由此得 d 12 又 an T d 12m m N d 24 an 7 24n n N 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 归纳拓展 数列在日常经济生活中广为应用 如增长率问题 银行存款利率问题 贷款问题等 都是与等比数列有关 另外 有些实际问题 可转化为数列问题 注意是求项还是求和 是解方程还是不等式问题 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 变式训练8已知数列 an 的前n项和为Sn 对一切正整数n 点Pn n Sn 都在函数f x x2 2x的图象上 且过点Pn n Sn 的切线的斜率为kn 1 求数列 an 的通项公式 2 若bn an 求数列 bn 的前n项和Tn 3 设Q x x kn n N R x x 2an n N 等差数列 cn 的任一项cn Q R 其中c1是Q R中的最小数 110 c10 115 求 cn 的通项公式 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解析 1 点Pn n Sn 都在函数f x x2 2x的图象上 Sn n2 2n n N 当n 2时 an Sn Sn 1 2n 1 当n 1时 a1 S1 3满足上式 所以数列 an 的通项公式为an 2n 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 由f x x2 2x求导可得f x 2x 2 过点Pn n Sn 的切线的斜率为kn kn 2n 2 bn an 4 2n 1 4n Tn 4 3 41 4 5 42 4 7 43 4 2n 1 4n 由 4 得4Tn 4 3 42 4 5 43 4 7 44 4 2n 1 4n 1 得 3Tn 4 3 4 2 42 43 4n 2n 1 4n 1 4 3 4 2 2n 1 4n 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 Tn 4n 2 3 Q x x 2n 2 n N R x x 4n 2 n N Q R R 又 cn Q R 其中c1是Q R中的最小数 c1 6 cn 的公差是4的倍数 c10 4m 6 m N 又 110 c10 115 解得m 27 所以c10 114 设等差数列的公差为d 则d 12 cn 6 n 1 12 12n 6 所以 cn 的通项公式为cn 12n 6 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 限时训练卷 一 一 选择题 1 在等比数列中 如果a1 a2 40 a3 a4 60 那么a7 a8等于 A 95 B 100 C 135 D 80 解析 a3 a4 a1 a2 q2 40q2 60 q2 a7 a8 a3 a4 q4 135 答案 C 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 等比数列 an 中 a3 6 前三项和S3 18 则公比q的值为 A 1 B C 1或 D 1或 解析 S3 18 a1 a2 1 q 12 2q2 q 1 0 q 1或q 答案 C 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 3 广东省惠州市2012届高三一模 公差不为零的等差数列 an 的前n项和为Sn 若a4是a3与a7的等比中项 S8 32 则S10等于 A 18 B 24 C 60 D 90 解析 由 a3a7得 a1 3d 2 a1 2d a1 6d 得2a1 3d 0 再由S8 8a1 d 32得2a1 7d 8 则d 2 a1 3 所以S10 10a1 d 60 故选C 答案 C 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 4 广东省执信中学2012届高三3月测试 设等差数列的前n项和为Sn 若a1 11 a3 a7 6 则当Sn取最小值时 n等于 A 9 B 8 C 7 D 6 解析 a3 a7 6 a5 3 d 2 Sn n2 12n 当Sn取最小值时 n等于6 答案 D 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 5 数列的首项为3 为等差数列 且bn an 1 an n N 若b3 2 b2 12 则a8等于 A 0 B 109 C 181 D 121 解析 d 14 an 1 an bn a8 a1 b1 b2 b7 112 则a8 109 答案 B 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 6 在等差数列 an 中 a3 a8 a13 m 其前n项和Sn 5m 则n等于 A 7 B 8 C 15 D 17 解析 a3 a8 a13 m 得a8 S15 15a8 5m 答案 C 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 7 2012北京西城区期末 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若8a2 a5 0 则下列式子中数值不能确定的是 A B C D 解析 q3 8 q 2 数值由n来决定 答案 D 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 8 北京市西城区2012年4月联考 设等比数列 an 的各项均为正数 公比为q 前n项和为Sn 若对 n N 有S2n 3Sn 则q的取值范围是 A 0 1 B 0 2 C 1 2 D 0 解析 当q 1时 S2n 3Sn 3 qn 2 当q 1时 nnmax不成立 舍去 当0logq2对 n N 恒成立 logq2 nmin logq2 1 即0 q 2 又0 q 1 0 q 1 当q 1时 S2n 2Sn 3Sn成立 综上可得 0 q 1 故选A 答案 A 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 9 山东省枣庄市2012届高三上学期期末 数列中a1 a a2 b 且满足an 1 an an 2 则a2012的值为 A b B b a C b D a 解析 经验证得周期为6 a2012 a335 6 2 a2 b 答案 A 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 10 已知 an 为等比数列 且a3 a6 36 a4 a7 18 若an 则n 解析 设an a1qn 1 a3 a6 36 a4 a7 a3 a6 q 18 解之得进而an 128 n 1 由an 128 n 1 解得n 9 答案 9 二 填空题 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 11 已知Sn Tn分别是等差数列 an bn 的前n项和 且 n N 则 解析 答案 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 12 已知数列 log2 an 1 n N 为等差数列 且a1 3 a3 9则数列 an 的通项公式为 解析 设等差数列 log2 an 1 的公差为d 由a1 3 a3 9 得log2 a3 1 log2 a1 1 2d 解得d 1 所以log2 an 1 1 n 1 1 n 即an 2n 1 答案 an 2n 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 13 已知数列是首项a1 的等比数列 其前n项和Sn中S3 S4 S2成等差数列 三 解答题 1 求数列的通项公式 2 设bn lo 求和 Tn 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解析 1 若q 1 则S3 S4 1 S2 显然S3 S4 S2不构成等差数列 q 1 由S3 S4 S2成等差数列得2 2q4 q3 q2 2q2 q 1 0 2q 1 q 1 0 q 1 q an n 1 n 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 bn lo lo n 1 Tn 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 数列 an 的前n项和为Sn 且Sn 2Sn 1 a2 1 则数列 an 的首项为 A 1或 2 B 1 C 2 D 2或 1 解析 由S1 2S2 得a1 1或 2 答案 A 限时训练卷 二 一 选择题 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 在数列 an 中 an 若它的前n项和Sn 则n等于 A 3 B 4 C 5 D 6 解析 an 1 Sn n 1 代人验证得n 6 答案 D 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 3 在数列 an 中 a1 2 an 1 an ln 1 则an等于 A 2 lnn B 3 lnn C 2 lnn D 3 lnn 解析 a2 a1 ln 1 a3 a2 ln 1 an an 1 ln 1 an a1 ln 2 lnn 答案 A 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 4 在数列 an 中 a1 1 an 1 n N 则是这个数列的第 项 A 4 B 5 C 6 D 7 解析 由已知得 是以 1为首项 公差d 的等差数列 1 n 1 an n 6 答案 C 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 5 已知数列 an 满足a1 0 an 1 n N 则a20等于 A 0 B C D 2 解析 由a1 0 an 1 n N 得a2 a3 a4 0 由此可知 数列 an 是周期变化的 且周期为3 所以a20 a2 答案 B 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 6 数列 an 的通项公式为an 2n 1 令bn 则数列 bn 的前n项和为 A B C D 解析 bn 故Tn 1 答案 D 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 7 设 an 是正项数列 其前n项和Sn满足 4Sn an 1 an 3 则数列 an 的通项公式an等于 A 2n 1 B 2n 1 C 2n 1 D 2n 1 解析 由4Sn an 1 an 3 得4Sn 1 an 1 1 an 1 3 两式相减得 an an 1 an an 1 2 0 又 an 是正项数列 an an 1 2 0 n 2 则数列 an 为等差数列 a1 3 an 2n 1 答案 D 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 8 北京市东城区2010届高三联考 已知数列 an 的通项公式an log3 n N 设其前n项和为Sn 则使Sn 4成立的最小自然数n等于 A 83 B 82 C 81 D 80 解析 Sn log3 log3 即log380 n 81 答案 C 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 9 山东省实验中学2012届高三第三次诊断 数列 an 满足a1 1 a2 2 n 2 n N 则a13等于 A 26 B 24 C 212 12 D 212 13 解析 由 n 2 n N 整理得 2 为等差数列 2n 2 累乘得an 2n 1 n 1 a13 212 12 答案 C 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 10 数列 an 中 a1 an 1 n N 则数列 an 的前2012项的和为 解析 1 是公差为1 首项为2的等差数列 n 1 an S2012 1 答案 二 填空题 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 11 已知数列 an 满足an 1 an 且a1 则 an 的通项公式为 解析 an 1 an an a1 n 1 an 3 n 1 答案 an 3 n 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 12 对于正项数列 定义Hn 若Hn 则数列 an 的通项公式为 解析 a1 2a2 3a3 nan a1 2a2 3a3 n 1 an 1 由 得nan 所以an 答案 an 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 13 2012淄博市高三一模 已知数列 an 中 a1 5且an 2an 1 2n 1 n 2且n N 三 解答题 1 证明 数列为等差数列 2 求数列 an 的前n项和Sn 解析 1 设bn b1 2 bn 1 bn an 1 2an 1 1 数列 为首项是2 公差是1的等差数列 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 由 1 知 n 1 1 n 1 an n 1 2n 1 Sn 2 21 1 3 22 1 n 2n 1 1 n 1 2n 1 Sn 2 21 3 22 n 2n 1 n 1 2n n 设Tn 2 21 3 22 n 2n 1 n 1 2n 2Tn 2 22 3 23 n 2n n 1 2n 1 得 Tn 2 21 22 23 2n n 1 2n 1 n 2n 1 Sn n 2n 1 n n 2n 1 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 浙江省温州市2012年2月高三第一次适应性测试 已知数列 an 满足a1 5 anan 1 2n 则等于 A 2 B 4 C 5 D 解析 a7 2 答案 A 限时训练卷 三 一 选择题 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 设数列 an 的前n项和为Sn 点 n n N 均在函数y 3x 2的图象上 则数列 an 的通项公式为 A 3n 2 B 6n 2 C n 2 D 6n 5 解析 n 在y 3x 2的图象上 故 3n 2 Sn n 3n 2 从而求出an 6n 5 答案 D 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 3 山东省济宁一中2012届高三第三次定时检测 已知函数y loga x 1 3 a 0 a 1 所过定点的横 纵坐标分别是等差数列 an 的第二项与第三项 若bn 数列 bn 的前n项和为Tn 则T10等于 A B C 1 D 解析 定点为 2 3 则a2 2 a3 3 d 1 an n bn T10 1 答案 B 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 4 广东省深圳高级中学2010届高三一模 数列 an 前n项和为Sn 已知a1 且对任意正整数m n 都有am n am an 若Sn a恒成立 则实数a的最小值为 A B C D 2 解析 当m 1时 an 1 ana1 an 则数列为等比数列 Sn 1 n 1 1 答案 A 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 5 浙江省杭州十四中2012年2月高三月考 设Sn为数列的前n项和 若 n N 是非零常数 则称该数列为 和等比数列 若数列是首项为6 公差为d d 0 的等差数列 且数列是 和等比数列 则d等于 A 4 B 5 C 6 D 12 解析 S2n n Sn 设 k k 0 则4dn 12 2d kdn 6k kd 即解得d 6 答案 C 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 6 数列 an 满足an 1 若a1 则a2012的值为 A B C D 解析 a2 2a1 1 a3 2a2 1 a4 2a3 故周期为3 a2012 a2 答案 B 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 7 已知 an 是首项为a 公差为1的等差数列 数列 bn 满足bn 若对任意的n N 都有bn b8成立 则实数a的取值范围是 A 8 7 B 7 6 C 8 6 D 6 5 解析 恒有bn b8成立 即 an 的公差d 1为递增数列 即a 8 7 答案 A 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 8 已知函数f x 3x2 bx 1是偶函数 g x 5x c是奇函数 正数数列 an 满足a1 1 f an an 1 g an 1an 1 则数列 an 的通项公式为 A n 1 B n 1 C n 1 D 2n 1 解析 f x 是偶函数 b 0 f x 3x2 1 g x 是奇函数 c 0 g x 5x f an an 1 g an 1 an 1 3 an an 1 2 1 5 an 1an 1 an an 1 3 an an 1 5an 0 3 an an 1 5an an 是等比数列 an n 1 n N 答案 A 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 9 浙江省部分重点中学2012年3月高三第二学期联考 已知定义在R上的函数f x 是奇函数且满足f x f x f 2 3 数列满足a1 1 且Sn 2an n 其中Sn为的前n项和 则f a5 f a6 等于 A 3 B 2 C 3 D 2 解析 Sn 2an n Sn 1 2an 1 n 1 两式相减得an 2an 1 1 即an 1 2 an 1 1 n 2 an 1 2n 由f x f x 得f x f x f x 3 f x f 31 f 33 2 f 2 3 f 63 f 0 0 f a5 f a6 f 31 f 63 3 答案 A 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 10 已知 an 是递增数列 且对任意n N 都有an n2 n恒成立 则实数 的取值范围是 解析 数列 an 是递增数列 且an n2 n 则 故 3 答案 3 二 填空题 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 11 已知函数f x cos cos cos 将函数f x 在 0 的所有极值点从小到大排成一数列 记为 an 则数列 an 的通项公式为 解析 f x cos sin cos sin cos sinx f x cosx 由cosx 0 得x k 函数f x 在 0 的所有极值点为 数列 an 的通项公式为an 答案 an 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 12 已知数列 an 中 a1 3 a2 5 其前n项和Sn满足Sn Sn 2 2Sn 1 2n 1 n 3 则数列 an 的通项公式为 解析 由题意知Sn Sn 1 Sn 1 Sn 2 2n 1 n 3 即an an 1 2n 1 n 3 an an an 1 an 1 an 2 a3 a2 a2 2n 1 2n 2 22 5 2n 1 2n 2 22 2 1 2 2n 1 n 3 检验知n 1 2时 结论也成立 故an 2n 1 答案 an 2n 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 13 浙江省部分重点中学2012年3月高三第二学期联考 已知各项均为正数的数列 an 前n项和为Sn p 1 Sn p2 an n N p 0且p 1 数列 bn 满足bn 2logpan 三 解答题 1 若p 设数列 的前n项和为Tn 求证 0 Tn 4 2 是否存在自然数M 使得当n M时 an 1恒成立 若存在 求出相应的M 若不存在 请说明理由 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 解析 1 由 p 1 Sn p2 an n N 得 p 1 Sn 1 p2 an 1 得 n 2 an 0 n N 又 p 1 S1 p2 a1 a1 p 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 an 是以p为首项 为公比的等比数列 an p n 1 p2 n bn 2logpan 2logpp2 n bn 4 2n 由条件p 得an 2n 2 Tn Tn 得 Tn 4 4 2 1 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 4 2 Tn 0 Tn Tn 1 当n 2时 Tn Tn 1 0 所以 当n 2时 0 Tn T3 3 又T1 T2 4 0 Tn 4 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 若要使an 1恒成立 则需分p 1和0 p 1两种情况讨论 当p 1时 2 n 0 n 2 当02 当0 p 1时 存在M 2 当n M时 an 1恒成立 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 1 2012年4月北京市海淀区高三一模 在等比数列 an 中 a1 8 a4 a3a5 则a7等于 A B C D 解析 a4 a3a5 得a4 1 q3 a7 a4q3 答案 B 一 选择题 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 2 在等差数列 an 中 a9 a12 6 则数列 an 前11项的和S11等于 A 24 B 48 C 66 D 132 解析 由a9 a12 6 得a6 3d a6 6d 6 a6 12 则S11 132 答案 D 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 3 山东省济南外国语学校2012届高三9月质量检测 各项都为正项的等比数列 an 中 首项a1 3 前三项和为21 则a3 a4 a5等于 A 33 B 72 C 84 D 189 解析 由已知得解得q 2 a3 a4 a5 a1 a2 a3 q2 84 答案 C 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 4 山东省青岛市2012届高三期末检测 等差数列中 已知a1 6 an 0 公差d N 则n n 3 的最大值为 A 7 B 6 C 5 D 8 解析 an a1 n 1 d 0 n 1 当d 1时 n取最大值7 答案 A 名师诊断 专案突破 对点集训 决胜高考 5 黑龙江省哈尔滨市第六中学2012届高三第一次模拟 已知数列 满足a1 b1 1 an 1 an 2 n N 则数列的前10项和为 A 410 1 B 410 1 C 49 1 D 49 1 解析 an 2n 1 bn 2n 1 S10 b1 b3 b5