数学分析不定积分概念与基本积分公式.ppt

第八章不定积分 8 1不定积分的概念与基本积分公式 8 2换元积分法与分部积分法 8 3几类特殊函数的不定积分 8 1不定积分的概念和基本积分公式 一原函数和不定积分二基本积分公式表三不定积分的线性运算法则 例 定义1 一 原函数与不定积分的概念 原函数存在定理 简言之 连续函数一定有原函数 问题 1 原函数是否唯一 例 为任意常数 2 若不唯一它们之间有什么联系 定理8 1 关于原函数的说明 1 若 则对于任意常数 2 若和都是的原函数 则 为任意常数 证 为任意常数 定理8 2 根据定义 如果F x 是f x 的一个原函数 则 其中C是任意常数 称为积分常数 二 不定积分 定义2函数f x 的所有原函数称为f x 的不定积分 不定积分的相关名称 叫做积分号 f x 叫做被积函数 f x dx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 例 例 例 解 求微分与求积分的互逆关系 函数f x 的原函数的图形称为f x 的积分曲线 函数f x 的积分曲线也有无限多条 函数f x 的不定积分表示f x 的一簇积分曲线 而f x 正是积分曲线的斜率 三 不定积分的几何意义 例求过点 1 3 且其切线斜率为2x的曲线方程 解 设所求的曲线方程为y f x 则y f x 2x 即f x 是2x的一个原函数 因为所求曲线通过点 1 3 故3 1 C C 2 于是所求曲线方程为y x2 2 1 3 所以y f x x2 C 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的 因此可以根据求导公式得出积分公式 四 基本积分公式 基本积分表 是常数 说明 简写为 例求积分 解 根据积分公式 2 例 例 例 证 等式成立 此性质可推广到有限多个函数之和的情况 五 不定积分的性质 定理3若函数 与 在区间 存在原函数 为两个任意常数 则 也存在原函数 且 上都 例1 则 例2 例3 例4 例5 例 例 例 例 例 例 例 例 例 例求积分 解 说明 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形 才能使用基本积分表 基本积分表 1 不定积分的性质 原函数的概念 不定积分的概念 求微分与求积分的互逆关系 小结 作业 P181 1 2 3 4 5 1 16 思考题 符号函数 在内是否存在原函数 为什么 思考题解答 不存在 假设有原函数 故假设错误 所以在内不存在原函数 结论 每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数