数学分析14-3方向导数与梯度.ppt

2009 04 10 14 3方向导数和梯度 讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题 一 方向导数 如图 如当沿着趋于时 的方向导数 记为 证明 由于函数可微 则增量可表示为 两边同除以 得到 故有方向导数 解 由方向导数的计算公式知 故 推广可得三元函数方向导数的定义 二 梯度的概念 gradient 结论 在几何上表示一个曲面 曲面被平面所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 等高线 梯度为等高线上的法向量 类似于二元函数 此梯度也是一个向量 其方向与取得最大方向导数的方向一致 其模为方向导数的最大值 梯度的概念可以推广到三元函数 解 由梯度计算公式得 故 1 方向导数的概念 2 梯度的概念 3 方向导数与梯度的关系 注意方向导数与一般所说偏导数的区别 注意梯度是一个向量 三 小结 思考题 连续 沿任意方向的方向导数存在 2 考虑下面各项之间的关系 作业习题集14 28 9 10 13 14 思考题解答