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课时跟踪训练(十三) 函数模型及其应用基础巩固一、选择题1物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()解析由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的答案B2(2018河南洛阳期中)已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到()A100只B200只C300只D400只解析由题意知100alog3(21)，a100，y100log3(x1)，当x8时，y100log39200.答案B3(2017福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A8B9C10D11解析设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(nN*)个“半衰期”后的含量为n，由n200，化简得(n2016)lg1.12lg2lg1.3，所以n20163.8，所以n2020，因此开始超过200万元的年份是2020年，故选C.答案C6国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为()A2800元B3000元C3800元D3818元解析设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在8004000元之间，(x800)14%420，x3800.答案C二、填空题7.(2016江西六校联考)A、B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出A从甲地自东向西行驶B从乙地自北向南行驶，A的速度是40 km/h，B的速度是16 km/h，经过_小时，AB间的距离最短解析设经过x h，A，B相距为y km，则y，求得函数的最小值时x的值为.答案8(2017北京海淀一模)某购物网站在2014年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为_解析为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3张答案39某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系t且该食品在4的保鲜时间是16小时已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示给出以下四个结论：该食品在6的保鲜时间是8小时；当x6,6时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间其中，所有正确结论的序号是_解析食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系t且该食品在4的保鲜时间是16小时24k616，即4k64，解得k，t当x6时，t8.该食品在6的保鲜时间是8小时，正确；当x6,0时，保鲜时间恒为64小时，当x(0,6时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少，故错误；到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确故正确的结论的序号为.答案三、解答题10已知某物体的温度(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：m2t21t(t0，并且m0)(1)如果m2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围解(1)若m2，则22t21t2，当5时，2t，令2tx1，则x，即2x25x20，解得x2或x(舍去)，此时t1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即2恒成立亦m2t2恒成立，亦即m2恒成立令x，则0x1，m2(xx2)，由于xx2，m.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是.能力提升11(2017陕西西安模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况0x100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y元要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少则下列函数最符合要求的是()Ay(x50)2500By10500Cy(x50)3625Dy5010lg(2x1)解析由题意知，函数应满足单调递增，且先慢后快，在x50左右增长缓慢，最小值为500，A是先减后增，不符合要求；B由指数函数知是增长越来越快，不符合要求；D由对数函数知增长速度越来越慢，不符合要求；C是由yx3经过平移和伸缩变换而得，最符合题目要求，故选C.答案C12(2017石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A3.50分钟B3.75分钟C4.00分钟D4.25分钟解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4，0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得解得所以p0.2t21.5t222，所以当t3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟答案B13一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaeb t(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一解析当t0时，ya，当t8时，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即yaeb ta，eb t(e8b)3e24b，则t24，所以再经过16 min.答案1614为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解(1)由已知条件得C(0)8，则k40，因此f(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x10102 1070(万元)，当且仅当6x10，即x5时等号成立所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元15(2017吉林长春模拟)一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用已知每服用m(1m4且mR)克的药剂，药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系式近似为ymf(x)，其中f(x)(1)若病人一次服用3克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(2)若病人第一次服用2克的药剂，6个小时后再服用m克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值解(1)因为m3，所以y当0x6时，由2，解得x11，此时0x6；当6x8时，由122，解得x，此时6x.综上所述，0x.故若一次服用3克的药剂，则有效治疗的时间可达小时(2)当6x8时，y2m8x，因为8x2对6x8恒成立，即m对6x8恒成立，等价于mmax,6x8.令g(x)，则函数g(x)在6,8上是单调递增函数，当x8时，函数g(x)取得最大值为，所以m，所以所求的m的最小值为.
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