2017-2018学年高中数学 第六章 推理与证明 6.3 数学归纳法（2）分层训练 湘教版选修2-2.doc

6.3数学归纳法(二)一、基础达标1用数学归纳法证明等式123(n3)(nN*)，验证n1时，左边应取的项是()A1 B12 C123 D1234答案D解析等式左边的数是从1加到n3.当n1时，n34，故此时左边的数为从1加到4.2用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2 B3 C5 D6答案C解析当n取1、2、3、4时2nn21不成立，当n5时，253252126，第一个能使2nn21的n值为5，故选C.3用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8 C9 D10答案B解析左边12，代入验证可知n的最小值是8.4用数学归纳法证明不等式(nN*)的过程中，由nk递推到nk1时，下列说法正确的是()A增加了一项B增加了两项和C增加了B中的两项，但又减少了一项D增加了A中的一项，但又减少了一项答案C解析当nk时，不等式左边为，当nk1时，不等式左边为，故选C.5用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开_答案(k3)3解析假设当nk时，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可6已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN*)依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为_答案Sn解析S11，S2，S3，S4，猜想Sn.7已知正数数列an(nN*)中，前n项和为Sn，且2Snan，用数学归纳法证明：an.证明(1)当n1时a1S1，a1(an0)，a11，又1，n1时，结论成立(2)假设nk(kN*)时，结论成立，即ak.当nk1时，ak1Sk1Ska2ak110，解得ak1(an0)，nk1时，结论成立由(1)(2)可知，对nN*都有an.二、能力提升8k(k3，kN*)棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱的对角面个数f(k1)为()Af(k)k1 Bf(k)k1Cf(k)k Df(k)k2答案A解析三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面020(31)；五棱柱有5个对角面232(41)；六棱柱有9个对角面545(51)；.猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱有f(k)k1个对角面9对于不等式n1(nN*)，某学生的证明过程如下：当n1时，11，不等式成立假设nk(nN*)时，不等式成立，即k1，则nk1时，.假设nk时，不等式成立则当nk1时，应推证的目标不等式是_答案解析观察不等式中的分母变化知，.11求证：(n2，nN*)证明(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时命题成立，即.则当nk1时，所以当nk1时不等式也成立由(1)和(2)可知，原不等式对一切n2，nN*均成立12已知数列an中，a1，其前n项和Sn满足anSn2(n2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明解当n2时，anSnSn1Sn2.Sn(n2)则有：S1a1，S2，S3，S4，由此猜想：Sn(nN*)用数学归纳法证明：(1)当n1时，S1a1，猜想成立(2)假设nk(kN*)猜想成立，即Sk成立，那么nk1时，Sk1.即nk1时猜想成立由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立三、探究与创新13已知递增等差数列an满足：a11，且a1，a2，a4成等比数列(1)求数列an的通项公式an；(2)若不等式对任意nN*，试猜想出实数m的最小值，并证明解(1)设数列an公差为d(d0)，由题意可知a1a4a，即1(13d)(1d)2，解得d1或d0(舍去)所以，an1(n1)1n.(2)不等式等价于，当n1时，m；当n2时，m；而，所以猜想，m的最小值为.下面证不等式对任意nN*恒成立下面用数学归纳法证明：证明(1)当n1时，成立(2)假设当nk时，不等式，成立，当nk1时，只要证，只要证，只要证2k2，只要证4k28k34k28k4，只要证34，显然成立所以，对任意nN*，不等式恒成立