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2.4基本不等式及其应用最新考纲考情考向分析掌握基本不等式(a，b0)及其应用.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识常在解答题中考查，难度为中档.1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值.(简记：和定积最大)概念方法微思考1若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示不一定若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值2函数yx的最小值是2吗？提示不是因为函数yx的定义域是x|x0，当x0时，y0且y0”是“2”的充要条件()(3)(ab)24ab(a，bR)()(4)若a0，则a3的最小值为2.()(5)不等式a2b22ab与有相同的成立条件()(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项()题组二教材改编2P100A组T1设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80B77C81D82答案C解析x0，y0，即xy281，当且仅当xy9时，(xy)max81.3P100A组T2若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.答案25解析设矩形的一边为xm，面积为ym2则另一边为(202x)(10x)m,0x0”是“x2成立”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析当x0时，x22.因为x，同号，所以若x2，则x0，0，所以“x0”是“x2成立”的充要条件，故选C.5若正数x，y满足3xy5xy，则4x3y的最小值是()A2B3C4D5答案D解析由3xy5xy，得5，所以4x3y(4x3y)(492)5，当且仅当，即y2x时，等号成立，故4x3y的最小值为5.故选D.6(2018温州市适应性考试)已知2a4b2(a，bR)，则a2b的最大值为_答案0解析因为22a4b2，当且仅当ab0时等号成立，所以a2b0，即a2b的最大值为0.题型一利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1(1)已知0x0时，x(a0)的最小值为3，则实数a的值为_答案4解析因为当x0，a0时，xx1121，当且仅当x1时，等号成立，又x(a0)的最小值为3，所以213，解得a4.命题点2常数代换法例2(2018浙江部分重点中学调研)已知a0，b0，且满足a2b2.若不等式abt(t2)ab1恒成立，则实数t的取值范围是_答案解析因为对于任意的a0，b0，a2b2，不等式abt(t2)ab1恒成立，即t恒成立因为1，当且仅当，即ab1，b时，取到最小值，所以t.命题点3消元法例3已知正实数a，b满足a2b40，则u()A有最大值B有最小值C有最小值3D有最大值3答案B解析a2b40，ba24，aba2a4.又a，b0，u3333，当且仅当a2，b8时取等号故选B.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法跟踪训练1(1)(2018杭州高级中学高考仿真测试)若正数x，y满足x22xy10，则2xy的最小值是()A.B.C.D.答案D解析由x22xy10，得y，所以2xy2xx，当且仅当3x，即x时，等号成立，此时y，符合题意，所以2xy的最小值为，故选D.(2)(2018浙江绍兴一中模拟)已知x，y0，且xy，则的最小值是_答案解析因为xy，所以xyxy，当且仅当x，y，即x2，y时，取等号题型二基本不等式的综合应用命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4在ABC中，点P满足2，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若m，n(m0，n0)，则m2n的最小值为()A3B4C.D.答案A解析，M，P，N三点共线，1，m2n(m2n)23，当且仅当mn1时等号成立命题点2求参数值或取值范围例5(2018杭州七校联考)设x，y是正实数，若不等式a恒成立，则实数a的值是_答案解析令t0，则，当且仅当t1，即xy时，取等号，所以a.又11111，当且仅当t1，即xy时，取等号，所以a.综上，a.跟踪训练2(2018金华名校统练)已知正实数x，y满足xy0，xy20，若m恒成立，则实数m的取值范围是_答案解析，当且仅当xy2，时取等号，此时x21，y32，符合题意，所以的最小值为，即m.利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题例某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2019年生产该产品的固定投入为8万元每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解(1)由题意知，当m0时，x1，13k，解得k2，x3，每万件产品的销售价格为1.5(万元)，2019年的利润y1.5x816xm48xm48m29(m0)(2)m0时，(m1)28，y82921，当且仅当m1，即m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元素养提升利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值1函数f(x)的最小值为()A3B4C6D8答案B解析f(x)|x|24，当且仅当x2时，等号成立，故选B.2若x0，y0，则“x2y2”的一个充分不必要条件是()AxyBx2yCx2且y1Dxy或y1答案C解析x0，y0，x2y2，当且仅当x2y时取等号故“x2且y1”是“x2y2”的充分不必要条件故选C.3已知正数a，b满足ab1，则的最小值为()A.B3C5D9答案D解析由题意知，正数a，b满足ab1，则(ab)41529，当且仅当，即a，b时等号成立，所以的最小值为9，故选D.4.几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为()A.(a0，b0)Ba2b22(a0，b0)C.(a0，b0)D.(a0，b0)答案D解析由ACa，BCb，可得圆O的半径r，又OCOBBCb，则FC2OC2OF2，再根据题图知FOFC，即，当且仅当ab时取等号故选D.5(2018杭州模拟)若实数x，y，z满足2x2y2xy,2x2y2z2xyz，则z的最大值为()A2log23B2log23C.Dlog23答案A解析因为2xy2x2y22(当且仅当xy时取等号)，所以2xy4.又2x2y2z2xyz，所以2xy2z2xy2z，所以2z1，由2xy4得2z的最大值为，从而z的最大值为2log23.6(2018嘉兴市教学测试)已知xy8(x0，y0)，则xy的最小值为()A5B9C4D10答案B解析由题意可知(xy)2(xy)58(xy)，由基本不等式可知24(当且仅当y2x时取等号)，令txy(t0)，则t258t4，即t28t9(t9)(t1)0，得t9，从而当x3，y6时，xy取得最小值，最小值为9，故选B.7.(2019浙江教育绿色评价联盟适应性考试)如图，在ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且xy，则的最小值为()A.B2C.D.答案D解析设mn，B，D，E，C共线，mn1，1，xy，则xymn2，当且仅当x，y时，等号成立故的最小值为，故选D.8(2018湖州五校模拟)已知x23xy2y21(x，yR)，则x2y2的最小值为()A.6B.6C26D26答案D解析方法一x23xy2y2(xy)(x2y)1，可设xyt，x2y(t0)，x2t，yt，代入所求式子得x2y2225t2626，当且仅当5t2时等号成立，x2y2的最小值为26.方法二设x2y2t2，xtcos，ytsin，代入已知等式得，t2cos23t2sincos2t2sin21，cos23sincos2sin21sin2(3sin2cos2)sin(2)，其中sin，cos.t226，x2y2的最小值为26.9(2018绍兴市适应性考试)已知正数x，y满足2xy2，则当x_时，y取得最小值为_答案22解析因为x，y为正数，则2xy2y22x00x0，则t22t6，解得t2或t6，又t0，t6，即6，mn18，当且仅当2mn6时，等号成立，故mn的最小值为18.12(2018绍兴市上虞区质检)若实数x，y，z满足x2y3z1，x24y29z21，则z的最小值是_答案解析因为19z2(x2y)22x2y(x2y)222，又x2y13z，则19z2(13z)2，解得z，即z的最小值为.13(2018浙江知名重点中学考前热身联考)已知实数x，y满足x2y3xy，且对任意的实数x(2，)，y(1，)，不等式(xy3)2a(xy3)10恒成立，则实数a的取值范围是()A.B(，2C2，) D.答案A解析因为x(2，)，y(1，)，所以xy30，所以不等式(xy3)2a(xy3)10可转化为(xy3)a.令txy3，t0，则f(t)ta，且函数f(t)在区间1，)上单调递增方法一等式x2y3xy可化为(x2)(y1)5，令mx2，ny1，则m0，n0，且mn5，则tmn22，当且仅当mn，即xy1，即x2，y1时等号成立，故f(t)f(2)2，所以a.方法二x2y3xy可化为y1(x2)，故直线xy3t0与函数y1(x2)的图象有公共点，当两者相切时是临界位置，此时y1，得x2，y1，此时，t2，数形(图略)结合可知当t2时，符合题意，故f(t)f(2)2，所以a.14对任意实数x1，y，不等式1恒成立，则实数a的最大值为()A2B4C.D2答案D解析依题意得a2.令x1m0,2y1n0，则28，即8，当且仅当mn1时取等号，因此的最小值是8，从而a28，2a2，且a0，故实数a的最大值是2.15(2018宁波模拟)已知x，y均为非负实数，且xy1，则4x24y2(1xy)2的取值范围为()A.B1,4C2,4 D2,9答案A解析因为x0，y0，所以x2y2(xy)2，则4x24y2(1xy)24(x2y2)1(xy)24(xy)21(xy)25(xy)22(xy)1，又因为0xy1，所以4x24y2(1xy)25(xy)22(xy)14，当且仅当xy0且xy1，即或时，等号成立；另一方面4x24y2(1xy)24(x2y2)1(xy)22(xy)21(xy)23(xy)22(xy)1，又因为0xy1，所以4x24y2(1xy)23(xy)22(xy)1，当且仅当xy且xy，即xy时，等号成立综上所述，4x24y2(1xy)2，故选A.16(2018杭州学军中学模拟)若x，yR满足2sin2(xy1)，则xy的最小值为_答案解析2sin2(xy1)xy1，又因为2sin2(xy1)0,2，xy12或xy12，所以xy12，此时即则2x1k，kZ，解得x，kZ，则xyx22，kZ，所以当k1时，xy2取得最小值.
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