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压轴大题高分练1.解析几何(A组)压轴大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考高分根基!1.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点(2,2),离心率为22.(1)求E的方程.(2)过E的左焦点F且斜率不为0的直线l与E相交于A,B两点,线段AB的中点为C,直线OC与直线x=-4相交于点D,若ADF为等腰直角三角形,求l的方程.【解析】(1)依题意,得4a2+2b2=1,ca=22,a2=b2+c2,解得a=22,b=2,c=2,所以E的方程为x28+y24=1.(2)易得F(-2,0),可设直线l的方程为x=ky-2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组x=ky-2,x28+y24=1,消去x,整理得(k2+2)y2-4ky-4=0,由根与系数的关系,得y1+y2=4kk2+2,y1y2=-4k2+2,所以y1+y22=2kk2+2,x1+x22=k(y1+y2)2-2=-4k2+2,即C-4k2+2,2kk2+2,所以直线OC的方程为y=-k2x,令x=-4,得y=2k,即D(-4,2k),所以直线DF的斜率为2k-0-4+2=-k,所以直线DF与l垂直,故若ADF为等腰直角三角形,只需|AF|=|DF|,即4k2+4=(x1+2)2+y12=(k2+1)y12,解得y1=2,又x128+y124=1,所以x1=0,所以k=1,从而直线l的方程为x-y+2=0或x+y+2=0.2.已知圆(x+2)2+y2=16的圆心为M,点P是圆M上的动点,点N(2,0),线段PN的垂直平分线交PM于G点.(1)求点G的轨迹C的方程.(2)过点T(4,0)作斜率不为0的直线l与(1)中的轨迹C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D,连接BD交x轴于点Q,求|QT|.【解析】(1)由题意知,线段PN的垂直平分线交PM于G点,所以|GN|=|GP|,所以|GM|+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=422=|MN|,所以点G在以M,N为焦点,长轴长为4的椭圆上,2a=4,2c=22,b2=a2-c2=2,所以点G的轨迹C的方程为x24+y22=1.(2)依题意可设直线l的方程为x=my+4,将直线方程代入x24+y22=1,化简得(m2+2)y2+8my+12=0,设直线l与椭圆C的两交点为A(x1,y1),B(x2,y2),由=64m2-412(m2+2)0,得m26,且y1+y2=-8mm2+2,y1y2=12m2+2,因为点A关于x轴的对称点为D,则D(x1,-y1),可设Q(x0,0),所以kBD=y2+y1x2-x1=y1+y2m(y2-y1),所以BD所在直线方程为y-y2=y1+y2m(y2-y1)(x-my2-4),令y=0,得x0=2my1y2+4(y1+y2)y1+y2,把代入,得x0=1,所以Q点的坐标为(1,0),所以|QT|=3.
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