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【课时训练】平面向量的数量积一、选择题1(2018北师大附中模拟)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()AxBx1Cx5Dx0【答案】D【解析】由ab0可求得x0.2(2018杭州模拟)若向量a，b满足|a|b|2，a与b的夹角为60，则|ab|()A2B2C4D12【答案】B【解析】|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 604422212，|ab|2.3(2018山西四校二联)已知平面向量a，b满足a(ab)3，且|a|2，|b|1，则向量a与b夹角的正弦值为()ABCD【答案】D【解析】a(ab)a2ab2221cosa，b42cosa，b3，cosa，b.又a，b0，sina，b.4(2018北京昌平第二次统考)如图，在ABC中，若|，AB2，AC1，E，F为BC边的三等分点，则()ABCD【答案】B【解析】若|，则222222，即有0.E，F为BC边的三等分点，则()() 22(14)0.故选B.5(2018驻马店质检)若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形【答案】C【解析】因为()(2)0，所以()0.因为，所以()()0，即|.所以ABC是等腰三角形故选C.6(2018南宁二次适应性测试)线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则()ABCD【答案】A【解析】由等边三角形的性质，得|，120，所以|cos，.故选A.7(2018陕西宝鸡三模)若ABC外接圆的圆心为O，半径为4，220，则在方向上的投影为()A4BCD1【答案】C【解析】如图所示，取BC的中点D，连接AD，OD，则由平面向量的加法的几何意义，得2.又由条件，得，所以2，即4.所以A，O，D共线所以OABC.所以CD为在方向上的投影因为|4，所以|3.所以| .二、填空题8(2018德州模拟)在ABC中，M是BC的中点，AM3，点P在AM上，且满足2，则()的值为_【答案】4【解析】由题意，得AP2，PM1，所以()2221cos 1804.9(2018烟台模拟)已知O是边长为1的正三角形ABC的中心，则()()_.【答案】【解析】由题意知AOBBOCAOC120，且OAOBOC，所以cos 120.故()().10(2018荆州二检)在ABC中，3，ABC的面积S，则与夹角的取值范围是_【答案】【解析】由三角形面积公式及已知条件，知SABCABBCsin B，所以ABBCsin B3.由3，知ABBCcos(B)3，所以ABBC.代入，得3，所以1tan B.所以B.而与的夹角为B，其取值范围为.11(2018江西白鹭洲中学期末)已知在直角三角形ABC中，ACB90，ACBC2，点P是斜边AB上的中点，则_.【答案】4【解析】由题意可建立如图所示的坐标系，可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0,0)，则()224.12(2018安徽黄山二模)在ABC中，若，则点O是ABC的_(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”)【答案】垂心【解析】，()0.0，OBCA，即OB为ABC底边CA上的高所在直线同理0，0，故O是ABC的垂心13(2019武汉调研)如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA6，则_.【答案】26【解析】解法一：因为()()|cos 180|cos 60|cos 60|cos 604661826.解法二：以点O为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则M(2,0)，N(2,0)，C(3,3)，D(3,3)，所以(1,3)，(1,3)，12726.三、解答题14(2018陕西模拟)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积【解】(1)因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab2761.所以ab6.所以cos .又0，所以.(2)因为|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|.(3)因为与的夹角，所以ABC.又|a|4，|b|3，所以SABC|sinABC433.
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