全国通用版2019版高考数学一轮复习第六单元解三角形学案理.doc

第六单元 解三角形教材复习课“解三角形”相关基础知识一课过正弦定理、余弦定理过双基1正弦定理2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.2余弦定理a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos_C.余弦定理可以变形：cos A，cos B，cos C.1设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2 ，cos A，且bc，则b()A3B2C2 D.解析：选C由a2b2c22bccos A，得4b2126b，解得b2或4，bc，b2.2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2c2a2bc，则角A的大小为()A30 B60C120 D150解析：选B由余弦定理可得b2c2a22bccos A，又因为b2c2a2bc，所以cos A，则A60.3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Absin Bcsin C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析：选C根据正弦定理可得a2b2c2.由余弦定理得cos C0，所以角C是钝角，故选C.4(2018郑州质量预测)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，则角B的大小为()A30 B45C60 D120解析：选A由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，所以a2c2b2ac，又因为cos B，所以cos B，所以B30.5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos Cbsin Ca0，则B_.解析：由正弦定理可得sin Bcos Csin Bsin Csin Asin(BC)sin Bcos Csin Ccos B，则sin Bsin Csin Ccos B，又sin C0，所以tan B，则B30.答案：30清易错1由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断2利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制1在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形解的情况是()A无解 B两解C一解 D不确定解析：选B，sin Bsin Asin 45.又ab，B有两个解，即此三角形有两解2设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_.解析：在ABC中，sin B，0B，B或B.又BC1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在3在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2a，b4，cos B.则c的值为()A4 B2C5 D6解析：选Ac2a，b4，cos B，由余弦定理得b2a2c22accos B，即16c2c2c2c2，解得c4.4已知ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A，b2acos B，c1，则ABC的面积等于()A. B.C. D.解析：选B由正弦定理得sin B2sin Acos B，故tan B2sin A2sin，又B(0，)，所以B，又AB，则ABC是正三角形，所以SABCbcsin A11.5(2018湖南四校联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2b2c2)tan Cab，则角C的大小为()A.或 B.或C. D.解析：选A由题意知，cos C，sin C，又C(0，)，C或.6已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 km B10 kmC10 km D10 km解析：选D如图所示，由余弦定理可得，AC210040021020cos 120700，AC10(km)7(2018贵州质检)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A3 B.C. D3解析：选Cc2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C6.8一艘海轮从A处出发，以每小时40 n mile的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10 n mileB10 n mileC20 n mile D20 n mile解析：选A画出示意图如图所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10.故B，C两点间的距离是10 n mile.二、填空题9在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，则c_.解析：因为3sin A2sin B，所以由正弦定理可得3a2b，则b3，由余弦定理可得c2a2b22abcos C4922316，则c4.答案：410在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且边a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_解析：在ABC中，角A，B，C成等差数列，2BAC，由三角形内角和定理，可得B，又边a，b，c成等比数列，b2ac，由余弦定理可得b2a2c22accos B，aca2c2ac，即a2c22ac0，故(ac)20，可得ac，所以ABC的形状为等边三角形答案：等边三角形11已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ax，b2，B45，若三角形有两解，则x的取值范围为_解析：由ACb2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，以2为半径的圆与AB有两个交点，当A90时，圆与AB相切，只有一解；当A45时，交于B点，也就是只有一解，所以要使三角形有两解，需满足45A90，即sin A1，由正弦定理可得ax2sin A，所以2xb，a5，c6，sin B.(1)求b和sin A的值；(2)求sin的值解(1)在ABC中，因为ab，故由sin B，可得cos B.由已知及余弦定理，得b2a2c22accos B13，所以b.由正弦定理，得sin A.所以b的值为，sin A的值为.(2)由(1)及ac，得cos A，所以sin 2A2sin Acos A，cos 2A12sin2A.故sinsin 2Acoscos 2Asin.方法技巧应用正、余弦定理的解题策略(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断即时演练1(2017山东高考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是()Aa2bBb2aCA2B DB2A解析：选A由题意可知sin B2sin Bcos Csin Acos Csin(AC)，即2sin Bcos Csin Acos C，又cos C0，故2sin Bsin A，由正弦定理可知a2b.2(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，则B_.解析：法一：由2bcos Bacos Cccos A及正弦定理，得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B0，因此cos B.又0B，所以B.法二：由2bcos Bacos Cccos A及余弦定理，得2bac，整理得，a2c2b2ac，所以2accos Bac0，cos B.又0B，所以B.答案：3.(2018成都二诊)如图，在平面四边形ABCD中，已知A，B，AB6.在AB边上取点E，使得BE1，连接EC，ED.若CED，EC.(1)求sinBCE的值；(2)求CD的长解：(1)在BEC中，由正弦定理，知.B，BE1，CE，sinBCE.(2)CEDB，DEABCE，cosDEA.A，AED为直角三角形，又AE5，ED2.在CED中，CD2CE2DE22CEDEcosCED7282249.CD7.利用正、余弦定理判断三角形形状要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：(1)角化边；(2)边化角.典例在ABC中，“(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)”，试判断三角形的形状解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos Bb22cos Asin Ba2，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.法一：用“边化角”解题由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.在ABC中，02A2，02B2，2A2B或2A2B，AB或AB.ABC为等腰三角形或直角三角形法二：用“角化边”解题由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.ABC为等腰三角形或直角三角形方法技巧判断三角形形状的2种方法(1)“边化角”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论(2)“角化边”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状提醒在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解即时演练1设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析：选B依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，有sin(BC)sin2A，从而sin(BC)sin Asin2A，解得sin A1，A，ABC是直角三角形2在ABC中，“2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，且sin Bsin C1”，试判断ABC的形状解：由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，由余弦定理得，cos A，sin A，则sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，所以sin Bsin C，解得sin Bsin C.因为0B，0C0，所以新三角形中最大的角是一个锐角，故选A.3(2018太原模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2c2a2bc，且ba，则下列关系一定不成立的是()Aac BbcC2ac Da2b2c2解析：选B由余弦定理，得cos A，则A30.又ba，由正弦定理得sin Bsin Asin 30，所以B60或120.当B60时，ABC为直角三角形，且2ac，可知C、D成立；当B120时，C30，所以AC，即ac，可知A成立，故选B.4在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB2BC2CD，则cosDAC()A. B.C. D.解析：选B如图所示，设CDa，则易知ACa，ADa，在ACD中，CD2AD2AC22ADACcosDAC，a2(a)2(a)22aacosDAC，cosDAC.5在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为S，且2S(ab)2c2，则tan C等于()A. B.C D解析：选C因为2S(ab)2c2a2b2c22ab，则由面积公式与余弦定理，得absin C2abcos C2ab，即sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，即4，所以4，解得tan C或tan C0(舍去)6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2c2a2bc，0，a，则bc的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B在ABC中，b2c2a2bc，由余弦定理可得cos A，A是ABC的内角，A60.a，由正弦定理得1，bcsin Bsin(120B)sin Bcos Bsin(B30)|cos(B)0，cos B0，B为钝角，90B120，120B30150，故sin(B30)，bcsin(B30).二、填空题7在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B2ab，若ABC的面积Sc，则ab的最小值为_解析：将2ccos B2ab中的边化为角可得2sin Ccos B2sin Asin B2sin Ccos B2sin Bcos Csin B则2sin Bcos Csin B0，因为sin B0，所以cos C，则C120，所以Sabsin 120c，则cab.由余弦定理可得2a2b22abcos C3ab，则ab12，当且仅当ab2时取等号，所以ab的最小值为12.答案：128(2017浙江高考)已知ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC_.解析：在ABC中，ABAC4，BC2，由余弦定理得cosABC，则sinABCsinCBD，所以SBDCBDBCsinCBD22.因为BDBC2，所以CDBABC，则cosCDB .答案：9已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_解析：因为a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，所以(ab)(sin Asin B)(cb)sin C.由正弦定理得b2c2bc4，又因为b2c22bc，所以bc4，当且仅当bc2时取等号，此时三角形为等边三角形，所以Sbcsin 604，故ABC的面积的最大值为.答案：三、解答题10(2017天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A4bsin B，ac(a2b2c2)(1)求cos A的值；(2)求sin(2BA)的值解：(1)由asin A4bsin B，及，得a2b.由ac(a2b2c2)及余弦定理，得cos A.(2)由(1)，可得sin A，代入asin A4bsin B，得sin B.由(1)知，A为钝角，所以cos B.于是sin 2B2sin Bcos B，cos 2B12sin2B，故sin(2BA)sin 2Bcos Acos 2Bsin A.11在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin Bbcos A.(1)求角A的大小；(2)若a，b2，求ABC的面积解：(1)因为asin Bbcos A，由正弦定理得sin Asin Bsin Bcos A.又sin B0，从而tan A.由于0A0，所以c3.故ABC的面积Sbcsin A.法二：由正弦定理，得，从而sin B，又由ab，知AB，所以cos B.故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面积Sabsin C.12在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin B(acos Bbcos A)ccos B.(1)求B；(2)若b2，ABC的面积为2，求ABC的周长解：(1)由正弦定理得，sin B(sin Acos Bsin Bcos A)sin Ccos B，sin Bsin(AB)sin Ccos B，sin Bsin Csin Ccos B.sin C0，sin Bcos B，即tan B.B(0，)，B.(2)SABCacsin Bac2，ac8.根据余弦定理得，b2a2c22accos B，12a2c28，即a2c220，ac6，ABC的周长为62.1在平面五边形ABCDE中，已知A120，B90，C120，E90，AB3，AE3，当五边形ABCDE的面积S时，则BC的取值范围为_解析：因为AB3，AE3，且A120，由余弦定理可得BE3，且ABEAEB30.又B90，E90，所以DEBEBC60.又C120，所以四边形BCDE是等腰梯形易得三角形ABE的面积为，所以四边形BCDE的面积的取值范围是.在等腰梯形BCDE中，令BCx，则CD3x，且梯形的高为，故梯形BCDE的面积为(33x)，即15(6x)x24，解得x2或4x5.答案：，2)(4，52.如图，有一直径为8 m的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是ECF，点E，F在直径AB上，且ABC.(1)若CE，求AE的长；(2)设ACE，求该空地种植果树的最大面积解：(1)由已知得ABC为直角三角形，因为AB8，ABC，所以BAC，AC4.在ACE中，由余弦定理得，CE2AC2AE22ACAEcos A，且CE，所以1316AE24AE，解得AE1或AE3.(2)因为ACB，ECF，所以ACE，所以AFCBACACF，在ACF中，由正弦定理得，所以CF，在ACE中，由正弦定理得，所以CE，所以SECFCECFsinECF.因为，所以2，所以0sin1，所以当sin0，即时，SECF取得最大值为4.即该空地种植果树的最大面积为4 m2.高考研究课(二)正、余弦定理的3个应用点高度、距离和角度全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度高度问题5年1考测量山高问题距离问题未考查角度问题未考查测量高度问题典例如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.解析由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100 (m)答案100方法技巧利用正、余弦定理求解高度问题应注意的3个方面(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题即时演练1.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为()A10 mB20 mC20 m D40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BCx，BDx.在BCD中，根据余弦定理得3x2x2402240xcos 120，即x220x8000，解得x40或x20(舍去)故电视塔的高度为40 m.2.如图，为测得河岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_m.解析：在BCD中，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理得，所以BC10.在RtABC中，tan 60，ABBCtan 6010(m)答案：10测量距离问题典例如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出ACB，CAB，在ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC60 m，BAC75，BCA45，则A，B两点间的距离为_m.解析ABC180754560，由正弦定理得，AB20(m)即A，B两点间的距离为20 m.答案20方法技巧求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理即时演练1.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离即AB.若测得CA400 m，CB600 m，ACB60，则AB的长为_m.解析：在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 (m)即A，B两点间的距离为200 m.答案：200 2.隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，同时，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离解：在ACD中，ACD120，CADADC30，所以ACCD.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60，由正弦定理知BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACB()222cos 75325，所以AB ，所以A，B两目标之间的距离为 km.角度问题典例(2018南昌模拟)如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东30角的方向沿直线前往B处营救，则sin 的值为()A. B.C. D.解析如图，连接BC，在ABC中，AC10，AB20，BAC120，由余弦定理，得BC2AC2AB22ABACcos 120700，BC10， 再由正弦定理，得，sin .答案A方法技巧解决测量角度问题的3个注意点(1)明确方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用即时演练1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析：选D由条件及图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值解：如题中图所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.1(2014全国卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60，已知山高BC100 m，则山高MN_m.解析：在ABC中，AC100，在MAC中，由正弦定理得，解得MA100，在MNA中，MNMAsin 60150.即山高MN为150 m.答案：1502.(2014四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)mB180(1)mC120(1)mD30(1)m解析：选Ctan 15tan(6045)2，BC60tan 6060tan 1