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第四讲 用数学归纳法证明不等式测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.用数学归纳法证明3nn3(n3,nN)第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4解析由n3,nN知,应验证n=3.答案C2.在用数学归纳法证明等式1+2+3+2n=2n2+n(nN+)的第(2)步中,假设当n=k时原等式成立,则在n=k+1时需要证明的等式为()A.1+2+3+2k+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)B.1+2+3+2k+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)C.1+2+3+2k+2k+1+2(k+1)=2k2+k+2(k+1)2+(k+1)D.1+2+3+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1)解析用数学归纳法证明等式1+2+3+2n=2n2+n时,当n=1时左边所得的项是1+2=3,右边=212+1=3,命题成立.假设当n=k时命题成立,即1+2+3+2k=2k2+k.则当n=k+1时,左边为1+2+3+2k+2k+1+2(k+1),故从“kk+1”需增添的项是2k+1+2(k+1),因此1+2+3+2k+2k+1+2(k+1)=2(k+1)2+(k+1).答案D3.记等式1n+2(n-1)+3(n-2)+n1=16n(n+1)(n+2)左边的式子为f(n),用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推时,即当n从k变为k+1时,等式左边的改变量f(k+1)-f(k)=()A.k+1B.1(k+1)+(k+1)1C.1+2+3+kD.1+2+3+k+(k+1)解析依题意,f(k)=1k+2(k-1)+3(k-2)+k1,则f(k+1)=1(k+1)+2k+3(k-1)+4(k-2)+k2+(k+1)1,f(k+1)-f(k)=1(k+1)-k+2k-(k-1)+3(k-1)-(k-2)+4(k-2)-(k-3)+k(2-1)+(k+1)1=1+2+3+k+(k+1).答案D4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN+)能被9整除”,要利用归纳假设证当n=k+1时的情况,只需展开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3解析当n=k+1时,证明“(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3能被9整除”,根据归纳假设,当n=k时,证明“k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除”,所以只需展开(k+3)3.答案A5.用数学归纳法证明2nn2(n5,nN+)成立时,第二步归纳假设的正确写法是()A.假设当n=k时命题成立B.假设当n=k(kN+)时命题成立C.假设当n=k(k5)时命题成立D.假设当n=k(k5)时命题成立解析由数学归纳法的步骤可知,选项C正确.答案C6.用数学归纳法证明“Sn=1n+1+1n+2+1n+3+13n+11(nN+)”时,S1等于()A.12B.14C.12+13D.12+13+14解析当n=1时,S1=11+1+11+2+131+1=12+13+14.答案D7.已知在数列an中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(nN+),用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,然后应该证明()A.a4k+1能被4整除B.a4k+2能被4整除C.a4k+3能被4整除D.a4k+4能被4整除解析由假设a4k能被4整除,则当n=k+1时,应该证明a4(k+1)=a4k+4能被4整除.答案D8.设012-1n+2,假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标是.解析注意不等式两边含变量“n”的式子,因此当n=k+1时,应该是含“n”的式子发生变化,所以当n=k+1时,应为122+132+1(k+1)2+1(k+2)212-1(k+1)+2.答案122+132+142+1(k+2)212-1k+316.导学号26394070设a,b均为正实数,nN+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则M,N的大小关系为.解析由贝努利不等式(1+x)n1+nx(x-1,且x0,n1,nN+),可知当n1时,令x=ba,所以1+ban1+nba,所以a+ban1+nba,即(a+b)nan+nan-1b.当n=1时,M=N,故MN.答案MN三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)用数学归纳法证明:12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(nN+).证明(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-1(21+1)=-3,等式成立.(2)假设当n=k(kN+,k1)时等式成立,即12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1).当n=k+1时,12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-2(k+1)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-2(k+1)2=-2k2-5k-3=-(k+1)(2k+3)=-(k+1)2(k+1)+1,即当n=k+1时,等式成立.由(1)(2)可知,对任何nN+,等式成立.18.(本小题满分12分)求证:两个连续正整数的积能被2整除.证明设nN+,则要证明n(n+1)能被2整除.(1)当n=1时,1(1+1)=2,能被2整除,即命题成立.(2)假设n=k(k1)时命题成立,即k(k+1)能被2整除.当n=k+1时,(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1),由归纳假设k(k+1)及2(k+1)都能被2整除,所以(k+1)(k+2)能被2整除,故当n=k+1时命题成立.由(1)(2)可知,命题对一切nN+都成立.19.(本小题满分12分)设函数fn(x)=Cn2+Cn3x+Cn4x2+Cnnxn-2(nN,n2),当x-1,且x0时,证明:fn(x)0恒成立.(x+1)n=Cn0x0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn,Cnm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)m(m-1)21,m,nN+,且nm证明要证fn(x)0恒成立,因为x-1,且x0,所以只需证Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn1+nx,即证(1+x)n1+nx.(1)当n=2时,不等式成立.(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即(1+x)k1+kx.当n=k+1时,有(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,即当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)可知,对任意nN,n2,(1+x)n1+nx成立,即fn(x)0恒成立.20.(本小题满分12分)已知点的序列An(xn,0),nN+,其中x1=0,x2=a(a0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,An是线段An-2An-1的中点,.(1)写出xn与xn-1,xn-2之间的关系式(n3);(2)设an=xn+1-xn,计算a1,a2,a3,由此推测数列an的通项公式,并加以证明.解(1)当n3时,xn=xn-1+xn-22.(2)a1=x2-x1=a,a2=x3-x2=x2+x12-x2=-12(x2-x1)=-12a,a3=x4-x3=x3+x22-x3=-12(x3-x2)=-12-12a=14a.由此推测an=-12n-1a(nN+).用数学归纳法证明:当n=1时,a1=x2-x1=a=-120a,通项公式成立.假设当n=k时,ak=-12k-1a成立.当n=k+1时,ak+1=xk+2-xk+1=xk+1+xk2-xk+1=-12(xk+1-xk)=-12ak=-12-12k-1a=-12(k+1)-1a,通项公式成立.由知,an=-12n-1a(nN+)成立.21.导学号26394071(本小题满分12分)求证:tan tan 2+tan 2tan 3+tan(n-1)tan n=tanntan-n(n2,nN+).证明(1)当n=2时,左边=tan tan 2,右边=tan2tan-2=2tan1-tan21tan-2=21-tan2-2=2tan21-tan2=tan2tan1-tan2=tan tan 2=左边,等式成立.(2)假设当n=k(k2)时等式成立,即tan tan 2+tan 2tan 3+tan(k-1)tan k=tanktan-k.当n=k+1时,tan tan 2+tan 2tan 3+tan(k-1)tan k+tan ktan(k+1)=tanktan-k+tan ktan(k+1)=tank1+tantan(k+1)tan-k=1tantan(k+1)-tan1+tan(k+1)tan1+tan(k+1)tan -k=1tantan(k+1)-tan -k=tan(k+1)tan-(k+1),所以当n=k+1时等式成立.由(1)和(2)知,当n2,nN+时等式恒成立.22.导学号26394072(本小题满分12分)设xn是由x1=2,xn+1=xn2+1xn(nN+)定义的数列,求证xn2xk21xk=2.xn2显然成立.下面用数学归纳法证明xn2+1n.(1)当n=1时,x1=22+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k1)时不等式成立,即xk2+1k.当n=k+1时,xk+1=xk2+1xk.由归纳假设,xk2+1k,则xk212+1k.xk2,1xk22.xk+1=xk2+1xk22+12k+22=2+12k2+1k+1.即xk+12+1k+1.当n=k+1时,不等式xn2+1n成立.由(1)(2)可知,xn2+1n对一切nN+都成立.
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