资源描述
第1课时直线与圆的位置关系核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P126P128，回答下列问题(1)怎样用几何法判断直线与圆的位置关系？提示：利用圆心到直线的距离d与圆半径的大小关系判断它们之间的位置关系，若dr，直线与圆相离；若dr，直线与圆相切；若d0，即m0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当0，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当0，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点法二：已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，即圆心为C(2,1)，半径r2.圆心C(2,1)到直线mxym10的距离d .当d0或m2，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点判断直线与圆位置关系的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系练一练1已知圆C: x2y24x0，l是过点P(3,0)的直线，则()Al与C相交Bl与C相切Cl与C相离 D以上三个选项均有可能解析：选A将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32024391231，点A在圆外(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以1，解得k.所以切线方程为y3(x4)，即15x8y360.(2)若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x4，综上，所求切线方程为15x8y360或x4.圆的切线的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程xx0或yy0.(2)点在圆外时几何法：设切线方程为yy0k(xx0)由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由0求出k，可得切线方程特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解练一练2求过点(1，7)且与圆x2y225相切的直线方程解：由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y7k(x1)，即kxyk70.5.解得k或k.所求切线方程为y7(x1)或y7(x1)，即4x3y250或3x4y250.讲一讲3直线l经过点P(5,5)并且与圆C: x2y225相交截得的弦长为4，求l的方程(链接教材P127例2)思路点拨设出点斜式方程，利用r、弦心距及弦长的一半构成三角形可求尝试解答据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y5k(x5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，法一：联立方程组消去y，得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0.由10k(1k)24(k21)25k(k2)0，解得k0.又x1x2，x1x2，由斜率公式，得y1y2k(x1x2)|AB| 4.两边平方，整理得2k25k20，解得k或k2符合题意故直线l的方程为x2y50或2xy50.法二：如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半在RtAHO中，|OA|5，|AH|AB|42，则|OH|.，解得k或k2.直线l的方程为x2y50或2xy50.求直线与圆相交的弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2d2r2，即|AB|2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2| |y1y2|(直线l的斜率k存在)练一练3求直线l：3xy60被圆C: x2y22y40截得的弦长解：法一：由直线l与圆C的方程，得消去y，得x23x20.设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有x1x23，x1x22，|AB|.弦AB的长为.法二：圆C: x2y22y40可化为x2(y1)25.其圆心坐标为C(0,1)，半径r，点C(0,1)到直线l的距离为d，所以半弦长.所以弦长|AB|.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题难点是解决直线与圆的位置关系2本节课要重点掌握的规律方法(1)直线与圆位置关系的判断方法，见讲1.(2)求圆的切线的方法，见讲2.(3)求直线与圆相交时弦长的方法，见讲3.3本节课的易错点是在解决直线与圆位置关系问题时易漏掉斜率不存在的情况，如讲2、讲3.课下能力提升(二十四)学业水平达标练题组1直线与圆的位置关系1直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是()A过圆心 B相切C相离 D相交但不过圆心解析：选D圆心(1，1)到直线3x4y120的距离d，0dr，所以相交但不过圆心2(2016洛阳高一检测)直线l: y1k(x1)和圆x2y22y0的关系是()A相离 B相切或相交C相交 D相切解析：选Cl过定点A(1,1)，1212210，点A在圆上，直线x1过点A且为圆的切线，又l斜率存在，l与圆一定相交，故选C.3求实数m的取值范围，使直线xmy30与圆x2y26x50分别满足：(1)相交；(2)相切；(3)相离解：圆的方程化为标准式为(x3)2y24，故圆心(3,0)到直线xmy30的距离d，圆的半径r2.(1)若相交，则dr，即r，即2，所以m(2，2)题组2圆的切线问题4若直线yxa与圆x2y21相切，则a的值为()A. BC1 D1解析：选B由题意得1，所以a，故选B.5圆心为(3,0)且与直线xy0相切的圆的方程为()A(x)2y21 B(x3)2y23C(x)2y23 D(x3)2y29解析：选B由题意知所求圆的半径r，故所求圆的方程为(x3)2y23，故选B.6(2015重庆高考)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_解析：设切线斜率为k，则由已知得： kkOP1.k.切线方程为x2y50.答案：x2y507已知圆C：(x1)2(y2)22，过点P(2，1)作圆C的切线，切点为A，B.求直线PA，PB的方程解：切线的斜率存在，设切线方程为y1k(x2)，即kxy2k10.圆心到直线的距离等于，即，k26k70，解得k7或k1，故所求的切线方程为y17(x2)或y1(x2)，即7xy150或xy10.题组3圆的弦长问题8设A、B为直线yx与圆x2y21的两个交点，则|AB|()A1 B. C. D2解析：选D直线yx过圆x2y21的圆心C(0,0)，则|AB|2.9过点(1，2)的直线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为，求直线l的方程解：由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k.设直线l的方程为y2k(x1)又圆的方程为(x1)2(y1)21，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d.解得k1或.所以直线l的方程为y2x1或y2(x1)，即xy10或17x7y30.能力提升综合练1已知a，bR，a2b20，则直线l: axby0与圆x2y2axby0的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D不能确定解析：选B联立化简得x2y20，则即直线l与圆只有一个公共点(0,0)，因此它们相切，故选B.2(2015安徽高考)直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是()A2或12 B2或12 C2或12 D2或12解析：选D因为直线3x4yb与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，所以1b2或12，故选D.3(2014浙江高考)已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的值是()A2B4C6D8解析：选B圆的标准方程为(x1)2(y1)22a，r22a，则圆心(1,1)到直线xy20的距离为.由22()22a，得a4.4若点P(2，1)为圆C：(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程为()Axy10 B2xy30C2xy50 Dxy30解析：选D圆心是点C(1,0)，由CPAB，得kAB1，又直线AB过点P，所以直线AB的方程为xy30.5过点P(1,6)且与圆(x3)2(y2)24相切的直线方程是_解析：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y6k(x1)，则d2，解得k，此时，直线方程为： 4y3x270；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x1，验证可知，符合题意答案：4y3x270或x16直线l: yxb与曲线C: y有两个公共点，则b的取值范围是_解析：如图所示，y是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，yxb是一个斜率为1的直线，要使两图有两个交点，连接A(1,0)和B(0,1)，直线l必在AB以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l的b值，当直线l与AB重合时，b1；当直线l与半圆相切时，b.所以b的取值范围是1，)答案：1，)7(1)圆C与直线2xy50切于点(2,1)，且与直线2xy150也相切，求圆C的方程；(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为2，求圆C的方程解：(1)设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2.两切线2xy50与2xy150平行，2r4，r2，r2，即|2ab15|10，r2，即|2ab5|10，又过圆心和切点的直线与切线垂直，由解得所求圆C的方程为(x2)2(y1)220.(2)设圆心坐标为(3m，m)圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，圆心到直线yx的距离为|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m272m2，m1，所求圆C的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.8已知P是直线3x4y80上的动点，PA、PB是圆C: x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点(1)求四边形PACB面积的最小值；(2)直线上是否存在点P，使BPA60，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由解：(1)如图，连接PC，由P点在直线3x4y80上，可设P点坐标为.所以S四边形PACB2SPAC2|AP|AC|AP|.因为|AP|2|PC|2|CA|2|PC|21，所以当|PC|2最小时，|AP|最小因为|PC|2(1x)2229.所以当x时，|PC|9.所以|AP|min2.即四边形PACB面积的最小值为2.(2)由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若APB60易得需PC2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的
展开阅读全文