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1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分学习目标重点难点1通过实例，会求曲边梯形的面积，从问题情境中了解定积分的实际背景2借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念.重点：1会求曲边梯形的面积；2定积分的几何意义和性质难点：求曲边梯形面积的方法与步骤，定积分的概念.1曲边梯形直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为_梯形2定积分如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb，将区间a，b均分成n个小区间，每个小区间的长度为x，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式(i)xf(i)，如果当x0(即n)时，上述和式无限接近某个常数，那么这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的_，记为f(x)dx.这里a与b分别叫做积分_与积分_，区间a，b叫做积分_，函数f(x)叫做_，x叫做_，f(x)dx叫做_预习交流1做一做：在求由xa，xb(ab)，yf(x)f(x)0及y0围成的曲边梯形的面积S时，在区间a，b上等间隔地插入n1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的是_(填序号)n个小曲边梯形的面积和等于S；n个小曲边梯形的面积和小于S；n个小曲边梯形的面积和大于S；n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定3定积分的几何意义一般地，定积分的几何意义是，在区间a，b上曲线与x轴所围图形面积的_(即x轴上方的面积_x轴下方的面积)预习交流2做一做：dx_.预习交流3做一做：不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：(1)xdx_x2dx；(2)xdx_xdx；(3)dx_2dx.在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习导引1曲边2定积分下限上限区间被积函数积分变量被积式预习交流1：提示：3代数和减去预习交流2：提示：1预习交流3：提示：(1)(2)(3)一、利用定积分的定义求曲边梯形的面积求由直线x1，x2和y0及曲线yx3围成的图形的面积思路分析：利用求曲边梯形面积的步骤求解求由直线x0，x1，y0及曲线yx22x所围成的图形的面积S.1求曲边梯形的面积时要按照分割以直代曲作和逼近这四个步骤进行2近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替3作和时要用到一些常见的求和公式，例如：123n，1222n2等二、汽车行驶路程的计算问题一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)t2(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0t2(单位：h)这段时间内汽车行驶的路程s(单位：km)思路分析：由v(t)及t0，t2，v0所围成的面积即为汽车行驶的路程，按照求曲边梯形面积的方法求解即可某物体做变速直线运动，设该物体在时刻t的速度为v(t)7t2，试计算这个物体在0t1这段时间内运动的路程s.把变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题，采用方法仍然是分割、以直代曲、作和、逼近，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，通过这样的背景问题，能更好体会后面所要学习的定积分的概念三、定积分概念的理解及应用利用定积分的定义计算(x2)dx.思路分析：根据定积分的定义，按照4个步骤依次进行计算用定积分的定义证明：kdxk(ba)用定义法求定积分的四个步骤是：(1)分割；(2)以直代曲；(3)作和；(4)逼近其中分割通常都是对积分区间进行等分，以直代曲时通常取区间的左端点或右端点，作和时要注意一些求和公式的灵活运用四、定积分的几何意义用定积分的几何意义求下列各式的值：(1)(x2)dx；(2)dx；(3)sin xdx.思路分析：画出每个被积函数的图象，根据定积分的几何意义进行计算求解1由定积分的几何意义可知xdx_.2用定积分的几何意义计算cos xdx_.1.定积分f(x)dx的几何意义是：介于xa，xb之间，x轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中x轴上方部分面积为正，x轴下方部分的面积为负2利用定积分的几何意义求定积分就必须准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题，另外，结合图形可以更直观形象地辅助作题1在计算由曲线yx2以及直线x1，x1，y0所围成的图形面积时，若将区间1,1n等分，则每个小区间的长度为_2_.3(n1)_.4已知f(x)dx6，则6f(x)dx_.5由定积分的几何意义可知dx_.6利用定积分的定义求抛物线yx21与直线x0，x1，y0所围成的平面图形的面积S.提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华技能要领答案：活动与探究1：解：(1)分割如图，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，用分点，把区间1,2等分成n个小区间：，每个小区间的长度为x，过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作S1，S2，Sn.(2)以直代曲取各小区间的左端点i，用i3为一边长，以小区间长x为其邻边长的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为Sii3x3(i1,2,3，n)(3)作和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD的面积S的近似值，即SSi3.(4)逼近当分点数目愈多，即x愈小时，和式的值就愈接近曲边梯形ABCD的面积S.因此，n即x0时，和式的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积3(ni1)3(n1)33(n1)2i3(n1)i2i3，当n时，S311.迁移与应用：解：(1)分割在区间0,1上等间隔地插入n1个点，将它等分为n个小区间：，记第i个区间为(i1,2，n)，其长度为x.分别过上述n1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：S1，S2，Sn，则小曲边梯形面积的和为SSi.(2)以直代曲记f(x)x22x，当n很大，即x很小时，在区间上，可以认为f(x)的值变化很小，不妨用f来近似地作为f(x)在该区间上的函数值从图形上看就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间上，用小矩形的面积Si近似地代替Si，则有SiSifx.(3)作和小曲边梯形的面积和SnSiSi.(4)逼近分别将区间0,1等分成8,16,20，等份时，Sn越来越趋向于S，从而有S.而当n时，S.即由直线x0，x1，y0及曲线yx22x所围成的图形的面积约等于.活动与探究2：解：(1)分割：在区间0,2上等间隔地插入n1个分点，将区间分成n个小区间：，记第i个小区间为(i1，2，n)，t，则汽车在时间段，上行驶的路程分别记作s1，s2，s3，sn，有snsi.(2)以直代曲：取i(i1,2，n)sivt2ti2(i1,2，n)(3)作和：si(122232n2).(4)逼近：n时，上式，故这段时间内汽车行驶的路程s约为km.迁移与应用：解：将区间0,1等分成n个小区间：，每个小区间的长度为t，t.取i(i1,2，n)，则物体在每个时间段内运动的路程siv(i)t，i1，2，n.snsi7.当n时，7.所以这个物体在0t1这段时间内运动的路程约为.活动与探究3：解：令f(x)x2.分割：将区间2,3平均分为n等份，xi.xi1，xi(i1,2，n)以直代曲：取ixi2(i1,2，n)，则f(i)224.作和：(i)xin4.逼近：当n时，4.故(x2)dx.迁移与应用：证明：令f(x)k，用分点ax0x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间xi1，xi(i1,2，n)，在每个小区间上任取一点i(i1,2，n)，作和式(i)xk(ba)当n时，kdxk(ba)活动与探究4：解：(1)(x2)dx的几何意义是指由直线yx2，x1，x1，y0所围成的图形的面积这里围成的是一个直角梯形，其面积为S(13)24，故(x2)dx4.(2)被积函数y表示的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆，由定积分的几何意义知定积分计算的是半圆的面积，所以有dx2.(3)函数ysinx在区间，上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，由在x轴上方和下方面积相等的两部分构成，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即sinxdx0.迁移与应用：1解析：xdx(12)1.20解析：由函数y=cosx，x0,2的图象的对称性(如图)知，cosxdx=0.当堂检测1解析：每个小区间长度为.2340解析：(n1)1223344540.436解析：6f(x)dx6f(x)dx6636.5解析：定积分表示圆x2y21面积的，即dx.6解：(1)分割：在区间0,1上等间隔地插入n1个点，将它等分成n个小区间：，.记第i个区间为(i1,2，n)，其长度为x.分别过上述n1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作：S1，S2，Sn.则SSi.(2)以直代曲：记f(x)x21.当n很大，即x很小时，在区间上，可以认为f(x)x21的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值f.就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边这样，在区间上，用小矩形的面积Si近似地代替Si，即在局部小范围内“以直代曲”，则有SiSifx2xx2(i1,2，n)(3)作和：由，得SnSix211222(n1)2111.从而得到S的近似值SSn1.(4)逼近：分别将区间0,1等分成8,16,20，等份时，可以看到随着n的不断增大，即x越来越小时，Sn1越来越趋近于S，而当n趋向于时，式无限趋近于，即所求面积为.
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