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专题能力提升练 十五坐标系与参数方程(30分钟60分)1.(2018南充二模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3cosy=sin(其中为参数),曲线C2:(x-1)2+y2=1,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程.(2)若射线=6(0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,求|AB|.【解析】(1)由x=3cos,y=sin得x23+y2=1,所以曲线C1的普通方程为x23+y2=1.把x=cos ,y=sin ,代入(x-1)2+y2=1,得到(cos -1)2+(sin )2=1,化简得到曲线C2的极坐标方程为=2cos .(2)依题意可设A1,6,B2,6.曲线C1的极坐标方程为2+22sin2=3.将=6(0)代入C1的极坐标方程得122+2=3,解得1=2,将=6(0)代入C2的极坐标方程得2=3,所以|AB|=|1-2|=3-2.2.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1-3t,y=1+t(t为参数).在以原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为=2cos .(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程.(2)若直线l与曲线C交于P,Q两点,求POQ.【解析】(1)由x=1-3t,y=1+t得l的普通方程为x+3y=1+3,又因为x=cos,y=sin,所以l的极坐标方程为(cos +3sin )=1+3,(或2sin+6=1+3)由=2cos 得2=2cos ,即x2+y2=2x,所以C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.(2)方法一:设P,Q的极坐标分别为(1,1),(2,2),则POQ=|1-2|,由(cos+3sin)=1+3,=2cos,消去得2cos (cos +3 sin )=1+3,化为cos 2+3sin 2=3,即sin2+6=32,因为0,2,即2+66,76,所以2+6=3或2+6=23,即1=12,2=4,或1=4,2=12所以POQ=|1-2|=6.方法二:曲线C的方程可化为(x-1)2+y2=1,表示圆心为C(1,0)且半径为1的圆.将l的参数方程化为标准形式x=1-32t,y=1+12t(其中t为参数),代入C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0得,1-32t2+1+12t2-21-32t=0,整理得,t2+t=0,解得t=0或t=-1,设P,Q对应的参数分别为t1,t2,则|PQ|=|t1-t2|=1.所以PCQ=3,又因为O是圆C上的点,所以POQ=PCQ2=6.方法三:曲线C的方程可化为(x-1)2+y2=1,表示圆心为C(1,0)且半径为1的圆.又由得l的普通方程为x+3y-(1+3)=0,则点C到直线l的距离为d=32,所以|PQ|=21-d2=1,所以PCQ是等边三角形,所以PCQ=3,又因为O是圆C上的点,所以POQ=PCQ2=6.3.在直角坐标系xOy中,抛物线C的方程为y2=4x.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程.(2)直线l的参数方程是x=2+tcosy=tsin(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=46,求l的倾斜角.【解析】(1)因为x=cos,y=sin,代入y2=4x,所以sin2-4cos =0.(2)不妨设点A,B对应的参数分别是t1,t2,把直线l的参数方程代入抛物线方程得:t2sin2-4cos t-8=0,所以t1+t2=4cossin2,t1t2=-8sin2,=16+16sin20,则|AB|=|t1-t2|=16+16sin2sin2=46,所以sin =22,所以=4或34.4.(2018潍坊一模)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+tcos,y=tsin(t为参数,0),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为2=21+sin2.(1)求曲线C的直角坐标方程.(2)设点M的坐标为(1,0),直线l与曲线C相交于A,B两点,求1|MA|+1|MB|的值.【解析】(1)曲线2=21+sin2,即2+2sin2=2,因为2=x2+y2,sin =y,所以曲线C的直角坐标方程为x2+2y2=2,即x22+y2=1.(2)将x=1+tcosy=tsin代入x2+2y2=2并整理得(1+sin2)t2+2tcos -1=0,所以t1+t2=-2cos1+sin2,t1t2=-11+sin2,所以1|MA|+1|MB|=|MA|+|MB|MA|MB|=|AB|MA|MB|=|t1-t2|-t1t2,因为|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=4cos2(1+sin2)2+41+sin2=221+sin2所以1|MA|+1|MB|=221+sin211+sin2=22.5.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1,C2的极坐标方程分别为=2sin ,cos-4=2.(1)求C1和C2交点的极坐标.(2)直线l的参数方程为:x=-3+32t,y=12t(t为参数),直线l与x轴的交点为P,且与C1交于A,B两点,求|PA|+|PB|.【解析】(1)C1,C2极坐标方程分别为=2sin ,cos-4=2,化为直角坐标方程分别为x2+(y-1)2=1,x+y-2=0.得交点坐标为(0,2),(1,1).即C1和C2交点的极坐标分别为2,2,2,4.(2)把直线l的参数方程:x=-3+32t,y=12t(t为参数),代入x2+(y-1)2=1,得-3+32t2+12t-12=1,即t2-4t+3=0,t1+t2=4,t1t2=3,所以|PA|+|PB|=4.6.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M的参数方程为x=1+cos,y=1+sin(为参数),l1,l2为过点O的两条直线,l1交M于A,B两点,l2交M于C,D两点,且l1的倾斜角为,AOC=6.(1)求l1和M的极坐标方程.(2)当0,6时,求点O到A,B,C,D四点距离之和的最大值.【解析】(1)依题意,直线l1的极坐标方程为=(R).由x=1+cos,y=1+sin消去,得(x-1)2+(y-1)2=1.将x=cos ,y=sin 代入上式,得2-2cos -2sin +1=0,故M的极坐标方程为2-2cos -2sin +1=0.(2)依题意可设A(1,),B(2,),C3,+6,D4,+6,且1,2,3,4均为正数.将=代入2-2cos -2sin +1=0,得2-2(cos +sin )+1=0,所以1+2=2(cos +sin ),同理可得,3+4=2cos+6+sin+6,所以点O到A,B,C,D四点的距离之和为1+2+3+4=2(cos +sin )+2cos+6+sin+6=(1+3)sin +(3+3)cos =2(1+3)sin+3.因为0,6,所以当sin+3=1,即=6时,1+2+3+4取得最大值2+23,所以点O到A,B,C,D四点距离之和的最大值为2+23.【加固训练】 (2018蚌埠二模)已知曲线C1的参数方程是x=2cos,y=3sin(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为2,3.(1)求点A,B,C,D的直角坐标.(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.【解析】(1)由题意,A,B,C,D的极坐标分别为2,3,2,56,2,43,2,116.所以A(1,3),B(-3,1),C(-1,-3),D(3,-1).(2)设P(2cos ,3sin )|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4(4cos2+9sin2+4)=4(8+5sin2)32,52.
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