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第3讲导数及其应用考情考向分析1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型.3.导数与函数零点、不等式的结合常作为高考压轴题出现热点一导数的几何意义1函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同例1(1)(2018全国)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2x ByxCy2x Dyx答案D解析方法一f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x22(a1)xa.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，f(x)3x21，f(0)1，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.方法二f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，f(x)3x22(a1)xa为偶函数，a1，即f(x)3x21，f(0)1，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.(2)若直线ykxb是曲线yln x1的切线，也是曲线yln(x2)的切线，则实数b_.答案ln 2解析设直线ykxb与曲线yln x1和曲线yln(x2)的切点分别为(x1，ln x11)，(x2，ln(x22)直线ykxb是曲线yln x1的切线，也是曲线yln(x2)的切线，即x1x22.切线方程为y(ln x11)(xx1)，即为yln x1或yln(x22)(xx2)，即为yln x1，0，则x12，bln 2.思维升华(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解跟踪演练1(1)(2018全国)曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为_答案2xy0解析y2ln(x1)，y.令x0，得y2，由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点(0,0)，切线方程为y2x，即2xy0.(2)若函数f(x)ln x(x0)与函数g(x)x22xa(x0)，则切线方程为yln x1(xx1)设公切线与函数g(x)x22xa切于点B(x2，x2x2a)(x20)，则切线方程为y(x2x2a)2(x21)(xx2)，x20x1，02.又aln x121ln 21，令t，0t2，at2tln t.设h(t)t2tln t(0t2)，则h(t)t1h(2)ln 21ln ，a.热点二利用导数研究函数的单调性1f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.2f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性例2(2018聊城模拟)已知函数f(x)2exkx2.(1)讨论函数f(x)在(0，)内的单调性；(2)若存在正数m，对于任意的x(0，m)，不等式|f(x)|2x恒成立，求正实数k的取值范围解(1)由题意得f(x)2exk，x(0，)，因为x0，所以2ex2.当k2时，f(x)0，此时f(x)在(0，)内单调递增当k2时，由f(x)0得xln，此时f(x)单调递增；由f(x)0得0x2时，f(x)在内单调递减，在内单调递增(2)当00.这时|f(x)|2x可化为f(x)2x，即2ex(k2)x20.设g(x)2ex(k2)x2，则g(x)2ex(k2)，令g(x)0，得xln0，所以g(x)在内单调递减，且g(0)0，所以当x时，g(x)2时，由(1)可得f(x)在内单调递减，且f(0)0，所以存在x00，使得对于任意的x(0，x0)都有f(x)2x可化为f(x)2x，即2exx20.设h(x)2exx2，则h(x)2ex.()若2k4，则h(x)0在(0，)上恒成立，这时h(x)在(0，)内单调递减，且h(0)0，所以对于任意的x(0，x0)都有h(x)4，令h(x)0，得x0，此时取mmin，则对于任意的x(0，m)，不等式|f(x)|2x恒成立综上可得k的取值范围为.思维升华利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域(2)求导函数f(x)(3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)1时，ln x0，要使f(x)0恒成立，则xa0恒成立xa1a，1a0，解得a1，当0x1时，ln x0，要使f(x)0恒成立，则xa0恒成立，xaf(x)，则关于x的不等式f(x2)的解集为()A(，3) B(3，)C(，0) D(0，)答案B解析f(x)是偶函数，f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)f(x)f(x)，即f(x)f(x)0，设g(x)exf(x)，则ex0，g(x)在(，)上单调递增，由ff(x1)0，得f(x)f0，ff0，相减可得f(x)f，f(x)的周期为3，e3fe3f(2)1，g(2)e2f(2)，f(x2)，结合f(x)的周期为3可化为ex1f(x1)e2f(2)，g(x1)g(2)，x12，x3，不等式的解集为，故选B.热点三利用导数求函数的极值、最值1若在x0附近左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值2设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得例3(2018北京)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围解(1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex.所以f(1)(1a)e.由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为1.(2)由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a，则当x(0,2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是.思维升华(1)求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(3)求函数f(x)在闭区间a，b上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值跟踪演练3(2018江西省八所重点中学联考)已知f(x)ln xx.(1)求函数f(x)的极值；(2)设g(x)ln(x1)axex，对于任意x10，)，x21，)，总有g(x1)f(x2)成立，求实数a的取值范围解(1)f(x)1，令f(x)0，可得x或xe.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：xe(e，)f(x)00f(x)极小值极大值所以f(x)的极小值为f，极大值为f(e).(2)由(1)可知，当x1，)时，函数f(x)的最大值为，对于任意x10，)，x21，)，总有g(x1)f(x2)成立，等价于对于任意x0，)，g(x)1恒成立，g(x)exa(x0)，当a2时，因为exx1，所以g(x)exax1a2a0，即g(x)在0，)上单调递增，g(x)g(0)1恒成立，符合题意当a2时，设h(x)exa(x0)，h(x)ex0，所以g(x)在0，)上单调递增，且g(0)2a0，则存在x0(0，)，使得g(x0)0，所以g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，又g(x0)0，故正确2(2017全国改编)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为_答案1解析函数f(x)(x2ax1)ex1，则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由x2是函数f(x)的极值点，得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1，所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2)由ex10恒成立，得当x2或x1时，f(x)0，且x0；当2x1时，f(x)1时，f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.3(2017山东改编)若函数exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是_(填序号)f(x)2x; f(x)x2；f(x)3x; f(x)cos x.答案解析若f(x)具有性质M，则exf(x)exf(x)f(x)0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)f(x)0在f(x)的定义域上恒成立对于式，f(x)f(x)2x2xln 22x(1ln 2)0，符合题意经验证，均不符合题意4(2017全国)曲线yx2在点(1,2)处的切线方程为_答案xy10解析y2x，y|x11，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k1，切线方程为y2x1，即xy10.押题预测1设函数yf(x)的导函数为f(x)，若yf(x)的图象在点P(1，f(1)处的切线方程为xy20，则f(1)f(1)等于()A4 B3 C2 D1押题依据曲线的切线问题是导数几何意义的应用，是高考考查的热点，对于“在某一点处的切线”问题，也是易错易混点答案A解析依题意有f(1)1,1f(1)20，即f(1)3，所以f(1)f(1)4.2已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为()A B2C2或 D2或押题依据函数的极值是单调性与最值的“桥梁”，理解极值概念是学好导数的关键极值点、极值的求法是高考的热点答案A解析由题意知f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即解得或经检验满足题意，故.3已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于_押题依据函数单调性问题是导数最重要的应用，体现了“以直代曲”思想，要在审题中搞清“在(0,1)上为减函数”与“函数的减区间为(0,1)”的区别答案2解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，1，得a2.又g(x)2x，依题意g(x)0在(1,2)上恒成立，得2x2a在(1,2)上恒成立，a2，a2.4已知函数f(x)x，g(x)x22ax4，若对任意x10,1，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_押题依据不等式恒成立或有解问题可以转化为函数的值域解决考查了转化与化归思想，是高考的一个热点答案解析由于f(x)10，因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以当x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a成立，令h(x)，则要使ah(x)在1,2上能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在1,2上单调递减，所以h(x)minh(2)，故只需a.A组专题通关1(2018株洲质检)设函数yxsin xcos x的图象在点处切线的斜率为g(t)，则函数yg(t)的图象一部分可以是()答案A解析因为yxcos x，所以g(t)tcos t，由g(t)tcos tg(t)知函数g(t)为奇函数，所以排除B，D选项，当从y轴右侧t0时，cos t0，t0，所以g(t)0，故选A.2(2018昆明统考)已知函数f(x)2kln xkx，若x2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是()A. B.C(0,2 D.答案A解析由题意得f(x)k，f(2)0，令g(x)exkx2，则g(x)在区间(0，)内恒大于等于0或恒小于等于0，令g(x)0，得k，令h(x)，则h(x)，所以h(x)最小值为h(2)，无最大值，所以k，故选A.3(2018衡水金卷调研)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(0)，则不等式f(x)ex0的解集为()A. B(0，)C. D(，0)答案B解析构造函数g(x)，则g(x)，因为f(x)f(x)，所以g(x)0，故函数g(x)在R上为减函数，又f(0)，所以g(0)，则不等式f(x)ex0可化为，即g(x)0，即所求不等式的解集为(0，)4设aR，若函数yeax3x，xR有大于零的极值点，则()Aa3 Ba Da0，a0.又当a0时，0eax1，要使aeax3，则a0)f(x)，则f(x0)2，解得x01.P(1,0)则点P到直线2xy60的距离d，即为点P到直线2xy60的距离的最小值9(2018衡水金卷调研)已知函数f(x)，m，x1,2，g(m)f(x)maxf(x)min，则关于m的不等式g(m)的解集为_答案解析由f(x)，得f(x)，m，x1,2，f(x)0，因此函数f(x)在区间1,2上单调递增，f(x)maxf(2)，f(x)minf(1)，从而g(m)f(x)maxf(x)min，令，得m，又m1，e，m.故不等式g(m)的解集为.10(2018吕梁模拟)已知函数f(x)a.(1)当a0时，试求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1)内有极值，试求a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)a，.当a0时，对于x(0，)，exax0恒成立，所以由f(x)0，得x1；由f(x)0，得0x1.所以f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1)(2)若f(x)在(0,1)内有极值，则f(x)0在(0,1)内有解令f(x)0，即exax0，即a.设g(x)，x(0,1)，所以 g(x)，当x(0,1)时，g(x)e时，f(x)0 有解设H(x)exax，则 H(x)exa0，H(1)eae时，f(x)在(0,1)内有极值且唯一当ae时，当x(0,1)时，f(x)0恒成立，f(x)单调递减，不成立综上，a的取值范围为(e，)B组能力提高11(2018山东联盟考试)对于函数f(x)exln(x2)2，以下描述正确的是()Ax0(2，)，f(x0)(，2)Bx(2，)，f(x)(，2)Cx(2，)，f(x)(2，)Df(x)min(1,1)答案C解析设函数g(x)exx1，g(x)ex1，当x0时，g(x)0，当x0时，g(x)2)，h(x)1，令h(x)0，得x1，令h(x)0，得2xln(x2)，exln(x2)0，函数f(x)exln(x2)2的值域为(2，)，故选C.12(2018齐鲁名校教科研协作体模拟)已知函数f(x)sin xxcos x，现有下列结论：当x0，时，f(x)0；当0sin ；若nm对x恒成立，则mn的最小值等于1；已知k，当xi时，满足k的xi的个数记为n，则n的所有可能取值构成的集合为0,1,2,3其中正确的个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析当x0，时，f(x)xsin x0，函数f(x)在0，上为增函数，所以f(x)f(0)0，正确；令g(x)，由知，当x(0，)时，g(x)g，所以sin g，则n，令(x)sin xx，当x时，(x)cos x10，所以(x)在上为减函数，所以(x)sin xx(0)0，所以(a0)恒成立，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)kln x，定义域为(0，)，f(x)(x0)由题意知f(1)k10，解得k1，f(x)(x0)，由f(x)0，解得x1；由f(x)0，解得0x1时，n(x)0，n(x)在1，)上单调递减，当x(1，e)时，n(x)n(1)0，当x(1，e)时，m(x)m(e)，由题意知，又a0，ae1.下面证明：当ae1,0x成立，即证aln xx1成立，令(x)aln xx1，则(x)1(0x1)，由ae1,0x0，故(x)在(0,1)上是增函数，x(0,1)时，(x)(1)0，aln x成立，故正数a的取值范围是.方法二当x(0,1)时，(a0)可化为aln xx10)，令g(x)aln xx1(a0)，则问题转化为证明g(x)0)，令g(x)0，得0xa，令g(x)a，函数g(x)在(0，a)上单调递增，在(a，)上单调递减()当0a0(a(0,1)设T(x)xln xx1(0x1)，则T(x)ln x11ln x0(0xT(1)0.即g(a)0(a(0,1)故此时不满足g(x)0对任意x(0,1)恒成立；()当a1时，函数g(x)在(0,1)上单调递增故g(x)(a0)，令h(x)aln xx1(a0)，则问题转化为证明h(x)0对任意x(1，e)恒成立又h(x)1(a0)，令h(x)0得 0xa；令h(x)a，函数h(x)在(0，a)上单调递增，在(a，)上单调递减()当ae时，h(x)在(1，e)上是增函数，所以h(x)h(1)0，()当1ae时，h(x)在(1，a)上单调递增，在(a，e)上单调递减，所以只需h(e)0，即ae1，()当0a1时，h(x)在(1，e)上单调递减，则h(x)h(1)0，不符合题意综合()()()可得ae1.由得正数a的取值范围是.
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