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第16讲概率、离散型随机变量及其分布1.若随机变量X服从二项分布B4,12,则E(3X+1)=() A.3B.4C.6D.72.从1至9共9个自然数中任取七个不同的数,则这七个数的平均数是5的概率为()A.23B.13C.19D.183.(2018湖北五校联考)已知定义在区间-3,3上的函数f(x)=2x+m满足f(2)=6,在-3,3上任取一个实数x,则使得f(x)的值不小于4的概率为()A.16B.13C.12D.234.(2018课标全国,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)sin x的概率为()A.1-1B.1-2C.1-3D.127.(2016四川,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.8.折纸已经成为开发少年儿童智力的一个重要工具和手段.已知在折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形,其中四边形ABCD为正方形,G为线段BC的中点,四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形,连接EB,CI,则向多边形AEFGHID中投掷一点,该点落在阴影部分内的概率为.9.某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位:分)X服从正态分布N(110,102),从中抽取一个同学的数学成绩,记该同学的成绩90110为事件A,记该同学的成绩80100为事件B,则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P(B|A)=.(用分数表示)附:X满足P(-X+)0.68,P(-2X+2)0.95,P(-3X+3)0.99.10.在一投掷竹圈套小玩具的游戏中,竹圈套住小玩具的全部记2分,竹圈只套在小玩具一部分上记1分,小玩具全部在竹圈外记0分.某人投掷100个竹圈,有50个竹圈套住小玩具的全部,25个竹圈只套在小玩具一部分上,其余小玩具全部在竹圈外,以频率估计概率,则该人两次投掷后得分的数学期望是.11.(2018开封高三定位考试)某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X依次为1,2,8,其中X5为标准A,X3为标准B,已知甲厂执行标准A生产该产品,产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B生产该产品,产品的零售价为4元/件.假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下表所示,且X1的数学期望E(X1)=6,求a,b的值;X15678P0.4ab0.1(2)为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数X2的数学期望;(3)在(1)(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由.注:产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价;“性价比”大的产品更具可购买性.12.(2018长春质量检测(二)某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量(单位:克)分别在100,150),150,200),200,250),250,300),300,350),350,400中,经统计得频率分布直方图如图所示.(1)现按分层抽样的方法,从质量在250,300),300,350)的芒果中随机抽取9个,再从这9个中随机抽取3个,记随机变量X表示质量在300,350)内的芒果个数,求X的分布列及数学期望;(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,将频率视为概率,某经销商来收购芒果,该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个,经销商提出如下两种收购方案:A:所有芒果以10元/千克收购;B:对质量低于250克的芒果以2元/个收购,高于或等于250克的以3元/个收购.通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多.13.(2018陕西质量检测(一)为了解共享单车在A市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中随机抽取了200人进行分析,得到如下列联表(单位:人).经常使用偶尔使用或不使用合计30岁及以下703010030岁以上6040100合计13070200(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车的情况与年龄有关;(2)(i)现从所选取的30岁以上的网友中,采用分层抽样的方法选取10人,再从这10人中随机选出3人赠送优惠券,将频率视为概率,求选出的3人中至少有2人经常使用共享单车的概率;(ii)将频率视为概率,从A市所有参与调查的网友中随机选取10人赠送礼品,记其中经常使用共享单车的人数为X,求X的数学期望和方差.参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.参考数据:P(K2k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635答案全解全析1.D随机变量X服从二项分布B4,12,E(X)=412=2,则E(3X+1)=3E(X)+1=7,故选D.2.C从1至9共9个自然数中任取七个不同的数的取法共有C97=36种,因为1+9=2+8=3+7=4+6,所以从(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)中任选三组,则有C43=4,故这七个数的平均数是5的概率为436=19,故选C.3.Bf(2)=6,22+m=6,解得m=2.f(x)4,2x+24,x1,而x-3,3,故根据几何概型的概率计算公式,得f(x)的值不小于4的概率P=26=13.故选B.4.B由题意可知,10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布,即XB(10,p),所以DX=10p(1-p)=2.4,所以p=0.4或0.6.又因为P(X=4)P(X=6),所以C104p4(1-p)60.5,所以p=0.6.故选B.5.B正面朝上的点数(x,y)的不同结果共有C61C61=36(种),事件A:“x+y为偶数”包含事件A1:“x,y都为偶数”与事件A2:“x,y都为奇数”两个互斥事件,其中P(A1)=C31C3136=14,P(A2)=C31C3136=14,所以P(A)=P(A1)+P(A2)=14+14=12.事件B为“x,y中有偶数且xy”,所以事件AB为“x,y都为偶数且xy”,所以P(AB)=C31C31-336=16,由条件概率的计算公式,得P(B|A)=P(AB)P(A)=13.6.Bx+1x+1n的展开式中各项的系数之和为81,所以令x=1,得3n=81,n=4,实数y的取值区间为0,1,在0x,0y1的前提下,ysin x表示的平面区域如图中阴影部分所示,阴影部分的面积S=202(1-sin x)dx=-2,又0x,0y1表示的平面区域的面积为,所以满足ysin x的概率为-2=1-2,故选B.7.答案32解析同时抛掷两枚质地均匀的硬币,至少有一枚硬币正面向上的概率为1-122=34,且XB2,34,均值是234=32.8.答案13解析设正方形ABCD的边长为2,则由题意,知多边形AEFGHID的面积为S正方形AGFE+S正方形DGHI+SADG=(5)2+(5)2+1222=12,阴影部分的面积为21222=4,所以向多边形AEFGHID中投掷一点,该点落在阴影部分内的概率为412=13.9.答案2795解析由题意,知P(A)0.475,P(AB)12(0.95-0.68)=0.135,所以P(B|A)=0.1350.475=2795.10.答案52解析将“竹圈套住小玩具的全部”“竹圈只套在小玩具一部分上”“小玩具全部在竹圈外”分别记为事件A,B,C,则P(A)=50100=12,P(B)=P(C)=25100=14.某人两次投掷后得分的所有可能取值为0,1,2,3,4,且P(=0)=1414=116,P(=1)=21414=18,P(=2)=1414+21214=516,P(=3)=21412=14,P(=4)=1212=14,故的分布列为01234P116185161414所以E()=0116+118+2516+314+414=52.11.解析(1)E(X1)=6,50.4+6a+7b+80.1=6,即6a+7b=3.2,又0.4+a+b+0.1=1,即a+b=0.5,由6a+7b=3.2,a+b=0.5,得a=0.3,b=0.2.(2)由已知,用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数X2的概率分布列如下表:X2345678P0.30.20.20.10.10.1E(X2)=30.3+40.2+50.2+60.1+70.1+80.1=4.8,即乙厂产品的等级系数X2的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件,其性价比为66=1,乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件,其性价比为4.84=1.2,又1.21,乙厂的产品更具可购买性.12.解析(1)9个芒果中,质量在250,300)和300,350)内的分别有6个和3个,则X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=C63C93=2084=521,P(X=1)=C63C31C93=4584,P(X=2)=C61C32C93=1884=942,P(X=3)=C33C93=184.所以X的分布列为X0123P5214584942184数学期望E(X)=0521+14584+2942+3184=1.(2)设选择方案A可获利y1元,则y1=(1250.002+1750.002+2250.003+2750.008+3250.004+3750.001)5010 000100.001=25 750(元).设选择方案B,从质量低于250克的芒果中获利y2元,从质量高于或等于250克的芒果中获利y3元,则y2=(0.002+0.002+0.003)5010 0002=7 000(元).y3=(0.008+0.004+0.001)5010 0003=19 500(元).y2+y3=7 000+19 500=26 500(元).由于25 7502.072,能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车的情况与年龄有关.(2)(i)依题意,可知所选取的10名30岁以上的网友中,经常使用共享单车的有1060100=6人,偶尔使用或不使用共享单车的有1040100=4人.则选出的3人中至少有2人经常使用共享单车的概率P=C62C41C103+C63C103=23.(ii)由列联表可知选到经常使用共享单车的网友的频率为130200=1320,将频率视为概率,即从A市所有参与调查的网友中任意选取1人,恰好选到经常使用共享单车的网友的概率为1320.由题意得XB10,1320,E(X)=101320=132,D(X)=101320720=9140.
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