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第6节正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1,2,3,7与面积相关的问题4,8,9,10实际应用问题5,11综合问题6,12,13,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.在ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,若A=,cos B=,b=8,则a等于(D)(A) (B)10(C)(D)5解析:因为cos B=,0B0,所以sin A=1,即A=,故选B.3.(2017南开区一模)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,c-a=2,b=3,则a等于(A)(A)2(B)(C)3(D)解析:因为c=a+2,b=3,cos A=,所以由余弦定理可得cos A=,即=,解得a=2.故选A.4.(2017山东平度二模)在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=60,a=,b+c=3,则ABC的面积为(B)(A)(B)(C)(D)2解析:由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A,因为a=,b+c=3,A=60,所以3=9-3bc,解得bc=2,所以SABC=bcsin A=2=,故选B.5.(2017甘肃一模)要测量电视塔AB的高度,在C点测得塔顶的仰角是45,在D点测得塔顶的仰角是30,并测得水平面上的BCD= 120,CD=40 m,则电视塔的高度是(B)(A)30 m (B)40 m (C)40 m (D)40 m解析:由题意,设AB=x m,则BD=x m,BC=x m,在DBC中,BCD=120,CD=40 m,根据余弦定理,得BD2=CD2+BC2-2CDBCcosDCB,即(x)2=402+x2-240xcos 120,整理得x2-20x-800=0,解得x=40或x=-20(舍),即所求电视塔的高度为40 m.故选B.6.(2017山东卷)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(A)(A)a=2b(B)b=2a(C)A=2B(D)B=2A解析:因为等式右边=sin Acos C+(sin Acos C+cos Acos C)=sin Acos C+sin(A+C)=sin Acos C+sin B,等式左边=sin B+2sin Bcos C,所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B.由cos C0,得sin A=2sin B,根据正弦定理,得a=2b,故选A.7.(2017全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=,c=3,则A= .解析:由正弦定理=得=,所以sin B=,又bc,所以B1,所以x-10,因此y=-=-=x+1+,所以y=(x-1)+2+2,当且仅当x-1=时,取“=”号,即x=1+时,y有最小值2+.故选D.12.(2017浙江卷)已知ABC,AB=AC=4,BC=2. 点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.解析:依题意作出图形,如图所示.则sinDBC=sinABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则cosABC=,sinABC=.所以SBDC=BCBDsinDBC=22=.因为cosDBC=-cosABC=-=,所以CD=.由余弦定理,得cosBDC=.答案:13.(2017天津卷)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac=(a2-b2-c2).(1)求cos A的值;(2)求sin(2B-A)的值.解:(1)由asin A=4bsin B及=,得a=2b.由ac=(a2-b2-c2),及余弦定理,得cos A=-.(2)由(1)可得sin A=,代入asin A=4bsin B,得sin B=.由(1)知,A为钝角,所以cos B=.于是sin 2B=2sin Bcos B=,cos 2B=1-2sin2B=,故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=(-)-=-.14.(2017北京卷)在ABC中,A=60,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.解:(1)在ABC中,因为A=60,c=a,所以由正弦定理得sin C=.(2)因为a=7,所以c=7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b3,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=bcsin A=83=6.15.(2017全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解:(1)由已知可得tan A=-,所以A=,在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos ,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4.(2)由题设可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.故ABD面积与ACD面积的比值为=1.又ABC的面积为42sinBAC=2,所以ABD的面积为.
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