资源描述
专题八选修4系列1.(2018全国卷,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解:(1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,点A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,点A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.2.(2018全国卷,文23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1x1的解集为xx12.(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,则|ax-1|1的解集为x0x2a,所以2a1,故0a2.综上,a的取值范围为(0,2.3.(2018全国卷,文22)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),过点(0,-2)且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点.(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解:(1)O的直角坐标方程为x2+y2=1.当=2时,l与O交于两点.当2时,记tan =k,则l的方程为y=kx-2.l与O交于两点当且仅当21+k21,解得k1,即2,34或4,2.综上,的取值范围是4,34.(2)l的参数方程为x=tcos,y=-2+tsint为参数,434.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=tA+tB2,且tA,tB满足t2-22tsin +1=0.于是tA+tB=22sin ,所以tP=2sin .又点P的坐标(x,y)满足x=tPcos,y=-2+tPsin,所以点P的轨迹的参数方程是x=22sin2,y=-22-22cos2为参数,40,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+3(a+b)24(a+b)=2+3(a+b)34,所以(a+b)38,因此a+b2.1.考查角度(1)坐标系与参数方程主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程化为普通方程,两曲线相交问题.(2)不等式选讲主要考查含绝对值不等式的解法,含参不等式恒成立或有解问题以及不等式的证明.2.题型及难易度解答题,难度中低档.(对应学生用书第5860页) 坐标系与参数方程考向1极坐标方程及其应用【例1】 (2017全国卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为cos =4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为2,3,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.解:(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=4cos.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,),(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面积S=12|OA|Bsin AOB=4cos sin-3=2sin 2-3-322+3.当=-12时,S取得最大值2+3.所以OAB面积的最大值为2+3.考向2参数方程及其应用【例2】 (2017全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=3cos,y=sin(为参数),直线l的参数方程为x=a+4t,y=1-t,(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l的距离的最大值为17,求a.解:(1)曲线C的普通方程为x29+y2=1,当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由x+4y-3=0,x29+y2=1,解得x=3,y=0或x=-2125,y=2425.从而C与l的交点坐标为(3,0),-2125,2425.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离为d=|3cos+4sin-a-4|17.当a-4时,d的最大值为a+917.由题设得a+917=17,所以a=8;当a0).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l:cos-4=2.(1)若l与曲线C没有公共点,求t的取值范围;(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为62+2,求t的值.解:(1)因为直线l的极坐标方程为cos-4=2,即cos +sin =2,所以直线l的直角坐标方程为x+y=2,又因为x=tcos,y=sin(为参数,t0),所以曲线C的直角坐标方程为x2t2+y2=1.由x+y=2,x2t2+y2=1,得(1+t2)y2-4y+4-t2=0,所以=16-4(1+t2)(4-t2)0,解得0t0,所以t=2.(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=cos 及y=sin 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如cos ,sin ,2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验;(2)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角有关的参数方程,经常用到的公式有sin2+cos2=1,1+tan2=1cos2等;(3)在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性;(4)涉及圆、椭圆上的点到直线距离时,可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,利用点到直线距离公式求解;(5)对于极坐标方程或参数方程应用不够熟练的情况下,可以先化为普通方程,然后求解;(6)极坐标方程为=的直线与曲线相交于M1,M2两点,坐标为(1,),(2,),则有以下结论:|M1M2|=|1-2|;若M(0,)是M1M2的中点,则0=1+22.(7)参数方程为x=x0+tcos,y=y0+tsin(t为参数)的直线l必过定点M(x0,y0),若直线l与曲线相交于M1,M2两点,M1,M2所对应的参数分别为t1,t2,则有以下结论:|M1M2|=|t1-t2|;若M(x0,y0)是弦M1M2的中点,则t1+t2=0;若弦M1M2的中点M,则点M对应的参数tm=t1+t22.热点训练1:(2018石家庄市质检)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程是x=t,y=2t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2+2sin -3=0.(1)求直线l的极坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.解:(1)由x=t,y=2t消去t得y=2x,把x=cos,y=sin代入y=2x,得sin =2cos ,所以直线l的极坐标方程为sin =2cos .(2)因为2=x2+y2,y=sin ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4.圆C的圆心C(0,-1)到直线l的距离d=55,所以|AB|=24-d2=2955.热点训练2:(2018南昌市模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cost,y=2sint+2(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)若直线l1,l2的极坐标方程分别为1=6(1R),2=23(2R),设直线l1,l2与曲线C的交点分别为O,M和O,N,求OMN的面积.解:(1)由参数方程x=2cost,y=2sint+2得普通方程为x2+(y-2)2=4,把x=cos,y=sin代入x2+(y-2)2=4,得2-4sin =0.所以曲线C的极坐标方程为=4sin .(2)由直线l1:1=6(1R)与曲线C的交点为O,M,得|OM|=4sin 6=2.由直线l2:2=23(2R)与曲线C的交点为O,N,得|ON|=4sin 23=23.易知MON=2,所以SOMN=12|OM|ON|=12223=23.不等式选讲考向1绝对值不等式的解法【例4】 (2018合肥市质检)已知函数f(x)=|2x-1|.(1)解关于x的不等式f(x)-f(x+1)1;(2)若关于x的不等式f(x)m-f(x+1)的解集不是空集,求m的取值范围.解:(1)f(x)-f(x+1)1,即|2x-1|-|2x+1|1,则x12,2x-1-2x-11或-12x12,1-2x-2x-11或x-12,1-2x+2x+11,解得x12或-14x12,即x-14,所以原不等式的解集为-14,+.(2)由题意得,不等式|2x-1|+|2x+1|(|2x-1|+|2x+1|)min.由于|2x-1|+|2x+1|=|1-2x|+|2x+1|1-2x+2x+1|=2,当且仅当(1-2x)(2x+1)0,即x-12,12时等号成立,故m2.所以m的取值范围是(2,+).考向2不等式的证明【例5】 (2018广州市普通高中综合测试)已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-1|,不等式f(x)2的解集为M.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|+|a-b|1.(1)解:f(x)2,即|2x+1|+|2x-1|2,当x-12时,得-(2x+1)+(1-2x)2,解得x-12,故x=-12,当-12x12时,得(2x+1)-(2x-1)2,即22,故-12x12,当x12时,得(2x+1)+(2x-1)2,解得x12,故x=12,所以不等式f(x)2的解集M=x|-12x12.(2)证明:法一当a,bM时,即-12a12,-12b12,可得|a|12,|b|12.当(a+b)(a-b)0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|1;当(a+b)(a-b)0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|1;所以|a+b|+|a-b|1.法二当a,bM时,即-12a12,-12b12,可得|a|12,|b|12.(|a+b|+|a-b|)2=2(a2+b2)+2|a2-b2|=4a2,a2b2,4b2,a2b2.因为a214,b214,所以4a21,4b21,故(|a+b|+|a-b|)21,所以|a+b|+|a-b|1.(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤:求零点.划区间,去绝对值号.分别解去掉绝对值号的不等式.取每个结果的并集,注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值.(2)含绝对值不等式恒成立问题,用等价转化思想.法一,利用三角不等式求出最值进行转化.法二,利用分类讨论思想,转化成求函数值域.(3)证明不等式常用的方法有综合法;分析法;比较法;利用柯西不等式(二维形式);绝对值三角不等式;平均值不等式.热点训练3:(2018山东六校联考)已知函数f(x)=13|x-a|,aR.(1)当a=2时,解不等式x-13+f(x)1;(2)设不等式x-13+f(x)x的解集为M,若13,12M,求实数a的取值范围.解:(1)当a=2时,原不等式可化为|3x-1|+|x-2|3.当x13时,原不等式可化为-3x+1+2-x3,解得x0,所以x0;当13x2时,原不等式可化为3x-1+2-x3,解得x1,所以1x2;当x2时,原不等式可化为3x-1-2+x3,解得x32,所以x2.综上所述,当a=2时,不等式的解集为x|x0或x1.(2)不等式x-13+f(x)x可化为|3x-1|+|x-a|3x,依题意可知不等式|3x-1|+|x-a|3x在13,12上恒成立,所以3x-1+|x-a|3x,即|x-a|1,即a-1xa+1,所以a-113,a+112,解得-12a43,故所求实数a的取值范围是-12,43.热点训练4:(2018山西省八校联考)已知函数f(x)=2|x-3|-|x+1|.(1)解不等式f(x)2;(2)若函数f(x)的最小值为m,且正实数a,b,c满足1a+4b+9c+m=0,证明:a+b+c9.(1)解:当x-1时,不等式可化为2(3-x)+(x+1)5,这与x-1矛盾,故此时不等式无解;当-1x3时,不等式可化为2(3-x)-(x+1)1,故此时不等式的解集为(1,3;当x3时,不等式可化为2(x-3)-(x+1)2,解得x9,故此时不等式的解集为(3,9).综上,不等式的解集为(1,9).(2)证明:由题知f(x)=7-x,x3.如图,作出函数f(x)的图象,显然,函数f(x)的最小值为f(3)=-4,所以m=-4.所以1a+4b+9c=4,则a+b+c=(a+b+c)141a+4b+9c=141+4+9+b+ca+4(a+c)b+9(a+b)c=1414+ba+4ab+ca+9ac+4cb+9bc1414+2ba4ab+2ca9ac+24cb9bc=14(14+4+6+12)=9当且仅当b=2a,c=3a,即a=32,b=3,c=92时等号成立.热点训练5:(2018河北省五个一名校联盟第二次考试)已知函数f(x)=|2x-1|,xR.(1)解不等式f(x)|x|+1;(2)若对x,yR,有|x-y-1|13,|2y+1|16,求证:f(x)1.(1)解:因为f(x)|x|+1,所以|2x-1|x|+1,即x12,2x-1x+1或0x12,1-2xx+1或x0,1-2x-x+1,解得12x2或0x12或无解.故不等式f(x)|x|+1的解集为x|0x2.(2)证明:f(x)=|2x-1|=|2(x-y-1)+(2y+1)|2(x-y-1)|+|2y+1|=2|x-y-1|+|2y+1|213+16=561. 【例1】 (2018山东省六校联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=4t-a,y=3t+1(t为参数,a为常数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为2-7=22sin-4.(1)求直线l的普通方程及圆C的直角坐标方程;(2)若直线l与圆C交于M,N两点,且|MN|=42,求实数a的值.解:(1)将直线l的参数方程消去参数t,得直线l的普通方程为3x-4y+3a+4=0.圆C的极坐标方程为2-7=22sin-4,即2+2cos -2sin -7=0,由极坐标与直角坐标的互化公式,得x2+y2+2x-2y-7=0,即(x+1)2+(y-1)2=9.(2)由(1)得圆C的圆心为C(-1,1),半径为3,所以圆心C到直线l的距离d=|3(-1)-41+3a+4|32+(-4)2=|3a-3|5.由|MN|=42,可得圆心C到直线l的距离d=32-(22)2=1,所以|3a-3|5=1,解得a=83或a=-23.【例2】 已知函数f(x)=|2x-1|-|x-a|,aR.(1)当a=1时,解不等式f(x)1有解,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=|2x-1|-|x-1|=-x,x12,3x-2,121,当x12时,-x-1,所以-1x12;当12x1时,3x-21,解得x1,所以12x1时,x1,无解;综上所述,不等式f(x)1的解集为x|-1x1有解|x-a|-2x有解2xx-a-2x有解3xa-x有解,因为-33x0,0-x1,所以-3a1,即实数a的取值范围是(-3,1).【例3】 (2018长沙市名校实验班阶段性测试)设函数f(x)=|x+1|-|x-1|.(1)解不等式f(x)1;(2)当aR,0b2时,证明:f(a)1b+12-b.(1)解:|x+1|-|x-1|1可转化为x1,x+1-x+11,解得12x1或x1,所以不等式的解集为xx12.(2)证明:由f(x)=-2,x1,可得-2f(a)2,因为0b2,所以02-b2,所以1b+12-b=1b+12-bb+(2-b)2=122+2-bb+b2-b2,当且仅当b=1时等号成立,所以f(a)1b+12-b成立.(对应学生用书第6061页) 【典例1】 (2018全国卷,文22)(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cos,y=4sin(为参数),直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.评分细则:解:(1)曲线C的直角坐标方程为x24+y216=1.1分当cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan ,3分当cos =0时,l的直角坐标方程为x=1.5分(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos 2)t2+4(2cos +sin )t-8=0.7分因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.8分又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2,故2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=tan =-2.10分注:第(1)问得分说明:求出曲线C的直角坐标方程得1分.对cos 讨论,得出l的直角坐标方程得4分,只写一个得2分.第(2)问得分说明:方程组联立,得出关于参数,t的方程得2分.根据参数t的几何意义,得t1+t2=0,得1分.由cos ,sin 的关系得斜率的值,得2分.【答题启示】(1)一般地,曲线的参数方程转化为直角坐标方程的关键是消参,曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是活用x=cos ,y=sin .本题易忽视cos =0,即l的斜率不存在的情况而失分.(2)直线l的参数方程为x=x0+tcos,y=y0+tsin(t为参数),其中为直线l的倾斜角,0,),直线l必过定点M0(x0,y0).在直线l的参数方程中,|t|表示直线上的动点M(x,y)到定点M0的距离.若直线l与曲线C相交于M1,M2两点,设点M1,M2对应的参数分别为t1,t2,则有如下结论成立:|M1M2|=|t1-t2|;若定点M0(x0,y0)为弦M1M2的中点,则t1+t2=0;若弦M1M2的中点为M,则点M对应的参数tM=t1+t22.本题常对参数t的几何意义理解不准而得不出t1+t2=0而失分或无法求解.【典例2】 (2018全国卷,文23)(10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范围.评分细则:解:(1)当a=1时,f(x)=2x+4,x-1,2,-12.3分可得f(x)0的解集为x|-2x3.5分(2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4.6分而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2时等号成立.7分故f(x)1等价于|a+2|4.8分由|a+2|4可得a-6或a2,9分所以a的取值范围是(-,-62,+).10分注:第(1)问得分说明:按x与-1,2的大小关系把f(x)写成分段函数,得3分.其中分点可与它的前、后段随意合并,但要做到不漏,每写对一段给1分.求出不等式的解集,得2分,结果缺少等号扣1分.第(2)问得分说明:把所求不等式写成绝对值不等式,得1分.利用绝对值不等式的性质定理得出|x+a|+|x-2|a+2|,得1分.把不等式恒成立问题转化为关于参数a的不等式,得1分.解关于参数a的不等式,得1分.用集合或区间写出结果,得1分.【答题启示】(1)求解形如|x-a|+|x-b|m(或m,或m,或m)的不等式时,往往需要按变量x与常数a,b的大小关系讨论(假设ab,则按xb加以分类讨论),或利用“图象法”加以求解.本题常因分段错误而失分.(2)根据绝对值不等式|a|+|b|ab|,可得函数f(x)=|x-a|+|x-b|(ab)的最小值为|a-b|;根据绝对值不等式|a|-|b|ab|,可得函数f(x)=|x-a|-|x-b|(ab)的最小值为-|a-b|,最大值为|a-b|.本题常不能正确运用绝对值不等式的性质求|x+a|+|x-2|的最小值,或不能把不等式恒成立问题转化为参数的不等式而失分.(3)本题易忽略结果是集合或区间形式而失分.
展开阅读全文