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圆锥曲线中的综合问题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB=2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是( )A. 2 B. 3 C. 1728 D. 10（正确答案）B解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB与x轴的交点为M(m,0)，由y2=xx=ty+my2-ty-m=0，根据韦达定理有y1y2=-m，OAOB=2，x1x2+y1y2=2，结合y12=x1及y22=x2，得(y1y2)2+y1y2-2=0，点A，B位于x轴的两侧，y1y2=-2，故m=2不妨令点A在x轴上方，则y10，又F(14,0)，SABO+SAFO122(y1-y2)+1214y1，=98y1+2y1298y12y1=3当且仅当98y1=2y1，即y1=43时，取“=”号，ABO与AFO面积之和的最小值是3，故选B可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及OAOB=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”2. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A. (0,32 B. (0,34 C. 32,1) D. 34,1)（正确答案）A解：如图所示，设F为椭圆的左焦点，连接AF，BF，则四边形AFBF是平行四边形，4=|AF|+|BF|=|AF|+|AF|=2a，a=2取M(0,b)，点M到直线l的距离不小于45，|4b|32+4245，解得b1e=ca=1-b2a21-122=32椭圆E的离心率的取值范围是(0,32故选：A如图所示，设F为椭圆的左焦点，连接AF，BF，则四边形AFBF是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF|+|BF|=2a.取M(0,b)，由点M到直线l的距离不小于45，可得|4b|32+4245，解得b1.再利用离心率计算公式e=ca=1-b2a2即可得出本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3. 已知点P(-22,0)是椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点，过点P作圆O：x2+y2=4的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是( )A. 12 B. 13 C. 14 D. 15（正确答案）C解：由题意，a=22过点P作圆O：x2+y2=4的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，APO=45，F(-2,0)，c=2，b2=8-2=6，a2+b2=8+6=14，故选C由题意，a=22.过点P作圆O：x2+y2=4的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，可得F(-2,0)，即可求出a2+b2的值本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题4. 已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分交于A点，AKl，垂足为K，则AKF的面积为( )A. 4 B. 3 C. 43 D. 8（正确答案）C解：由抛物线的定义可得AF=AK，则AF的斜率等于3，AF的倾斜角等于60，AKl，FAK=60，故AKF为等边三角形又焦点F(1,0)，AF的方程为y-0=3(x-1)，设A(m,3m-3)，m1，由AF=AK得(m-1)2+(3m-3)2=m+1，m=3，故等边三角形AKF的边长AK=m+1=4，AKF的面积是1244sin60=43，故选：C先判断AKF为等边三角形，求出A的坐标，可求出等边AKF的边长AK=m+1的值，AKF的面积可求本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断AKF为等边三角形是解题的关键5. 已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，其准线与双曲线y23-x2=1相交于M，N两点，若MNF为直角三角形，其中F为直角顶点，则p=( )A. 23 B. 3 C. 33 D. 6（正确答案）A【分析】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力【解答】解：由题设知抛物线y2=2px的准线为x=-p2，代入双曲线方程y23-x2=1解得 y=3+3p24，由双曲线的对称性知MNF为等腰直角三角形，FMN=4，tanFMN=p3+3p24=1，p2=3+3p24，即p=23，故选A6. 若抛物线y2=2px上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则p的取值范围是( )A. (-23,0) B. (0,32)C. (0,23) D. (-,0)(23,+)（正确答案）C解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，因为点A和B在抛物线上，所以有y12=2px1 y22=2px2 -得，y12-y22=2p(x1-x2)整理得y1-y2x1-x2=2py1+y2，因为A，B关于直线x+y-1=0对称，所以kAB=1，即2py1+y2=1所以y1+y2=2p设AB的中点为M(x0,y0)，则y0=y1+y22=2p2=p又M在直线x+y-1=0上，所以x0=1-y0=1-p则M(1-p,p)因为M在抛物线内部，所以y02-2px00即p2-2p(1-p)0，解得0p0,b0)的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C.若AB=12BC，则双曲线的离心率是( )A. 2 B. 3 C. 5 D. 10（正确答案）C解：直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B(a2a+b,aba+b)，l与渐近线l2：bx+ay=0交于C(a2a-b,-aba-b)，A(a,0)，AB=(-aba+b,aba+b)，BC=(2a2ba2-b2,-2a2ba2-b2)，AB=12BC，-aba+b=a2ba2-b2，b=2a，c2-a2=4a2，e2=c2a2=5，e=5，故选C分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出AB和BC，进而根据AB=12BC求得a和b的关系，进而根据c2-a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用9. 如图F1，F2是双曲线C1：x2-y28=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限内的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是( )A. 23 B. 45 C. 35 D. 25（正确答案）C解：由题意F1，F2是双曲线C1：x2-y28=1与椭圆C2的公共焦点可知，|F1F2|=|F1A|=6，|F1A|-|F2A|=2，|F2A|=4，|F1A|+|F2A|=10，2a=10，C2的离心率是610=35故选：C利用椭圆以及双曲线的定义，转化求解椭圆的离心率即可本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力10. 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)与抛物线y2=43x的准线相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，点F是抛物线的焦点，且FAB是正三角形，则双曲线C的方程为( )A. x22-y2=1 B. x2-y22=1 C. x24-y22=1 D. x22-y24=1（正确答案）B解：抛物线y2=43x的焦点为F(3,0)，其准线方程为x=-3，FAB为正三角形，|AB|=4，将(-3,2)代入双曲线x2a2-y2b2=1可得3a2-4b2=1，双曲线的一条渐近线方程是y=2x，ba=2，a=1，b=2，双曲线C2的方程为x2-y22=1故选：B抛物线y2=43x的焦点为F(3,0)，其准线方程为x=-3，利用FAB为正三角形，可得A的坐标，代入双曲线的方程，可得a，b的方程，利用双曲线的一条渐近线方程是y=2x，可得a，b的方程，从而可得a，b的值，即可求出双曲线的方程本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用抛物线、双曲线的性质是关键11. 抛物线C1：y2=4x的焦点F是双曲线C2：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点，点P为曲线C1，C2的公共点，点M在抛物线C1的准线上，FPM为以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C2的离心率为( )A. 3+22 B. 210-3 C. 2+1 D. 210+3（正确答案）C解：抛物线C1：y2=4x的焦点F是双曲线C2：x2a2-y2b2=1(ab0)的右焦点，F(1,0)，|PF|=2=|PM|，则P(1,2)，P在双曲线上，满足：1a2-4b2=1a2+b2=c2=1，解得a2=3-22，b2=22-2，所求双曲线的离心率为：e=13-22=2+1故选：C求出抛物线以及双曲线的焦点坐标，利用已知条件推出P的坐标，代入双曲线方程，然后求解a、c，即可求解双曲线的离心率即可本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的综合应用，考查转化思想以及计算能力12. 已知P是双曲线x23-y2=1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则PAPB的值是( )A. -38 B. 316 C. -38 D. 不能确定（正确答案）A解：设P(m,n)，则m23-n2=1，即m2-3n2=3，由双曲线x23-y2=1的渐近线方程为y=33x，则由y=33xy-n=-3(x-m)解得交点A(3m+3n4,3m+n4)；由y=-33xy-n=3(x-m)解得交点B(3m-3n4,n-3m4).PA=(3n-m4,3m-3n4)，PB=(-m-3n4,-3n-3m4)，则PAPB=3n-m4-m-3n4+3m-3n4-3n-3m4=-2m2-6n216=-616=-38故选：A设P(m,n)，则m23-n2=1，即m2-3n2=3，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设抛物线y2=8x的焦点与双曲线x2-y2b2=1(b0)的右焦点重合，则b= _ （正确答案）3解：抛物线y2=8x的焦点(2,0)与双曲线x2-y2b2=1(b0)的右焦点重合，可得c=2，1+b2=2，解得b=3故答案为：3求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件求出b即可本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力14. 若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x24-y25=1的右焦点重合，则实数p的值为_（正确答案）6解：双曲线的方程x24-y25=1，a2=4，b2=5，可得c=a2+b2=3，因此双曲线x24-y25=1的右焦点为F(3,0)，抛物线y2=2px(p0)的焦点与双曲线的右焦点重合，p2=3，解之得p=6故答案为：6根据双曲线的方程，可得c=3，从而得到双曲线的右焦点为F(3,0)，再根据抛物线的简单几何性质，可得p2=3，解之即可得到实数p的值本题给出抛物线以原点为顶点，双曲线的右焦点为焦点，求抛物线方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题15. 已知抛物线C：y2=2px (p0)的焦点为F，过点F倾斜角为60的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则|AF|BF|的值等于_（正确答案）3解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y12=2px1，y22=2px2，|AB|=x1+x2+p=2psin2=83p，即有x1+x2=53p，由直线l倾斜角为60，则直线l的方程为：y-0=3(x-p2)，即y=3x-32p，联立抛物线方程，消去y并整理，得12x2-20px+3p2=0，则x1x2=p24，可得x1=32p，x2=16p，则|AF|BF|=32p+12p12p+16p=3，故答案为：3设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合x1x2=p24，求出A、B的坐标，然后求其比值本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题16. 过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)右焦点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为_（正确答案）(1,5)解：由题意过双曲线x2a2-y2b2=1 (a0，b0 )右焦点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率ba1e=ca=a2+b2a21+4，1e0)的直线交E与A，M两点，点N在E上，MANA(I)当|AM|=|AN|时，求AMN的面积(II) 当2|AM|=|AN|时，证明：3k0，|AN|=121+(1k)23+4(1k)2=12k1+k23k2+4，又2|AM|=|AN|，23+4k2=k3k2+4，整理得：4k3-6k2+3k-8=0，设f(k)=4k3-6k2+3k-8，则f(k)=12k2-12k+3=3(2k-1)20，f(k)=4k3-6k2+3k-8为(0,+)的增函数，又f(3)=433-63+33-8=153-26=675-6760，3k2(I)依题意知椭圆E的左顶点A(-2,0)，由|AM|=|AN|，且MANA，可知AMN为等腰直角三角形，设M(a-2,a)，利用点M在E上，可得3(a-2)2+4a2=12，解得：a=127，从而可求AMN的面积；(II)设直线lAM的方程为：y=k(x+2)，直线lAN的方程为：y=-1k(x+2)，联立y=k(x+2)3x2+4y2=12消去y，得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0，利用韦达定理及弦长公式可分别求得|AM|=1+k2|xM-(-2)|=121+k23+4k2，|AN|=121+(1k)23+4(1k)2=12k1+k23k2+4，结合2|AM|=|AN|，可得23+4k2=k3k2+4，整理后，构造函数f(k)=4k3-6k2+3k-8，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造函数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是难题19. 如图，已知四边形ABCD是椭圆3x2+4y2=12的内接平行四边形，且BC，AD分别经过椭圆的焦点F1，F2()若直线AC的方程为x-2y=0，求AC的长；()求平行四边形ABCD面积的最大值（正确答案）(本小题满分14分)()解：由3x2+4y2=12x-2y=0，消去y可得：4x2=12，解得x=3，(2分)所以A，C两点的坐标为(3,32)和(-3,-32)，(4分)所以 |AC|=(23)2+(3)2=15.(5分)()解：当直线AD的斜率不存在时，此时易得A(1,32)，B(-1,32)，C(-1,-32)，D(1,-32)，所以平行四边形ABCD的面积为|AB|AD|=6.(6分)当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为y=k(x-1)，将其代入椭圆方程，整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.(8分)设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4).则 x1+x4=8k23+4k2，x1x4=4k2-123+4k2.(10分)连结AF1，DF1，则平行四边形ABCD的面积S=2SAF1D=|F1F2|y1-y4|=2|y1-y4|.(11分)又 (y1-y4)2=k2(x1-x4)2=k2(x1+x4)2-4x1x4=916k2(k2+1)(3+4k2)2.(13分)又(3+4k2)2-16k2(k2+1)=9+8k2，所以 S=616k2(k2+1)(3+4k2)2=61-9+8k2(3+4k2)26综上，平行四边形ABCD面积的最大值是6.(14分)()通过3x2+4y2=12x-2y=0，求出x，得到A，C两点的坐标，利用距离公式求解即可()当直线AD的斜率不存在时，求出三个点的坐标，然后求解平行四边形的面积当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为y=k(x-1)，与椭圆方程联立，设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4).利用韦达定理，连结AF1，DF1，表示出面积表达式，然后求解最值本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用
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