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33.3导数的实际应用学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识点生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程1生活中常见到的收益最高、用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题()2解决应用问题的关键是建立数学模型()题型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBxcm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题解(1)由题意知包装盒的底面边长为xcm，高为(30x)cm,0x30，所以包装盒侧面积为S4x(30x)8x(30x)828225，当且仅当x30x，即x15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x15.(2)包装盒容积V2x2(30x)2x360x2(0x0，得0x20；令V0，得20x10，y8.(1)两栏面积之和为2(y8)720，由此得y8(x10)(2)试卷的面积Sxyx，S8，令S0，得x40(负数舍去)，函数在(10,40)上单调递减，在(40，)上单调递增，当x40时，S取得最小值，故当试卷的长为40cm，宽为32cm时，可使试卷的面积最小题型二实际生活中的最值问题命题角度1利润最大问题例2某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一定数量的次品根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4x12)之间满足关系：P0.1x23.2lnx3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元(利润盈利亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题解(1)由题意得，所获得的利润为y102(xP)P20x3x296lnx90(4x12)(2)由(1)知，y，当4x6时，y0，函数在4,6上为增函数；当6x12时，y0，函数在6,12上为减函数，所以当x6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y20636296ln69096ln678(万元)反思感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润收入成本(2)利润每件产品的利润销售件数跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题解(1)因为当x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值42由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大命题角度2用料(费用)最省问题例3某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)800来刻画为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题解设建成x个球场，则1x10，且xZ，每平方米的购地费用为(元)，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)800来表示，所以每平方米的综合费用为g(x)f(x)800160lnx(1x10且xZ)，所以g(x)(1x10且xZ)，令g(x)0，得x8，当1x8时，g(x)0，g(x)为减函数；当80，g(x)为增函数，所以当x8时，函数取得极小值，且为最小值故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省反思感悟费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答跟踪训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题解(1)由题意知，每年的能源消耗费用为C(x)(0x10)，且C(0)8，故k40，所以C(x)(0x10)设建造费用为C1(x)，则C1(x)6x.所以f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)因为f(x)6x(0x10)，所以f(x)6.令f(x)0，即6，解得x5(负值舍去)当0x5时，f(x)0，f(x)为减函数；当50，f(x)为增函数故x5是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，对应的最小值为f(5)6570.故当隔热层修建厚度为5cm时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元损耗最少问题典例已知A，B两地相距200千米，一艘船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(80)，则y1kv2.当v12时，y1720，720k122，得k5.设全程燃料费为y元，由题意，得yy1(8vv0)，y.令y0，解得v16.若v016，当v(8,16)时，y0，y为增函数故当v16时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省若v016，当v(8，v0时，y0，y在(8，v0上为减函数故当vv0时，y取得最小值，此时全程燃料费最省综上可得，若v016，则当v16千米/时时，全程燃料费最省；若v016，则当vv0时，全程燃料费最省素养评析(1)解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，要先找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再化归为常规问题，最后选择合适的数学方法求解(2)确定函数模型，将实际问题转化成数学问题的要求较高，有利于数学建模素养的提升1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8B.C1D8考点函数类型的优化问题题点函数类型的其他问题答案C解析原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.2用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为()A2m3B3m3C4m3D5m3考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案B解析设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h3x(m)，故长方体的体积为V(x)2x29x26x3，从而V(x)18x18x218x(1x)，令V(x)0，解得x1或x0(舍去)当0x0；当1x时，V(x)0)；生产总成本y2(万元)也是x(千台)的函数，y22x3x2(x0)，为使利润最大，则应生产()A9千台B8千台C6千台D3千台考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案C解析利润yy1y217x2(2x3x2)18x22x3(x0)，求导得y36x6x2，令y0，得x6或x0(舍去)所以当生产6千台时，利润最大4容积为256的方底无盖水箱，它的高为时最省材料考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题答案4解析设水箱高为h，底面边长为a，则a2h256，其表面积为Sa24aha24aa2.令S2a0，得a8.当0a8时，S8时，S0，故当a8时，S最小，此时h4.5某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0x21)的平方成正比已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题解(1)设商品降价x元，则每星期多卖的商品数为kx2.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)由已知条件，得24k22，于是k6.所以f(x)6x3126x2432x9072，x0,21(2)由(1)得f(x)18x2252x43218(x2)(x12)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0,2)2(2,12)12(12,21f(x)00f(x)极小值极大值故当x12时，f(x)取得极大值因为f(0)9072，f(12)11664.所以当定价为301218(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大1利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求函数的导函数f(x)，解方程f(x)0.(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值2正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.一、选择题1已知某厂家生产某种产品的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx336x126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A11万件B9万件C7万件D6万件考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案D解析由yx2360，解得x6或x6(舍去)当0x0；当x6时，y0，在x6时y取最大值2将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，那么这两个数为()A2,6B4,4C3,5D以上都不对考点函数类型的优化问题题点函数类型的其他问题答案B解析设一个数为x，则另一个数为8x，其立方和为yx3(8x)3512192x24x2(0x8)，则y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0x4时，y0；当40，所以当x4时，y取得极小值，也是最小值所以这两个数为4,4.3某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A150B200C250D300考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案D解析由题意得，总利润P(x)P(x)令P(x)0，得x300，当0x0，当300x390时，P(x)P(390)31090.故选D.4某工厂要建造一个长方体形状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A900元B840元C818元D816元考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题答案D解析设箱底一边的长度为xm，箱子的总造价为l元，根据题意得箱底面积为16(m2)，则箱底另一边的长度为m，所以l16151224072，l72.令l0，解得x4或x4(舍去)当0x4时，l4时，l0.故当x4时，l取得极小值，也就是最小值，为816.因此，当箱底是边长为4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元5若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时底面边长为()A.B.C.D2考点几何类型的优化问题题点面积的最值问题答案C解析设底面边长为x，则表面积Sx2V(x0)，S(x34V)令S0，得x.可判断得当x时，直棱柱的表面积最小6在三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC2x，OAx，OBy，且xy3，则三棱锥OABC体积的最大值为()A4B8C.D.考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案C解析Vy(0x0，右侧L(p)0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值二、填空题9用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为cm.考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案8解析设截去的正方形的边长为xcm，铁盒的体积为Vcm3，则铁盒的底面边长为(482x) cm，由题意，得Vx(482x)2(0x0)，yx2.由y0，得x25，当x(0,25)时，y0；当x(25，)时，y0，所以当x25时，y取最大值11统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx8，x(0,120，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题答案80解析当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，由题意，得y(0x120)，则y(0x120)，令y0，得x80，当x(0,80)时，y0，该函数递增，故当x80时，y取得最小值三、解答题12某单位用3240万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少15层、每层3000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x15)层，则每平方米的平均建筑费用为840kx(单位：元)已知楼房建为15层时，每平方米的平均建筑费用为1245元(1)求k的值(2)当楼房建为多少层时，楼房每平方米的平均综合费用最少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)考点题点解(1)由题意可得84015k1245，解得k27.(2)设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)，则f(x)(84027x)84027x(x15且xN)，f(x)27，令f(x)0，得x20，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x15,20)20(20，)f(x)0f(x)单调递减极小值单调递增所以当x20时，f(x)有最小值答为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层13已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题解(1)当010时，WxR(x)(102.7x)982.7x，所以W(2)当00；当x(9,10时，W10时，W9898238，当且仅当2.7x，即x时，W取得最大值38.综合知，当x9千件时，W取得最大值38.6万元答当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元14某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A0.0162B0.0324C0.0243D0.0486考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案B解析由题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x(0,0.0486)所以银行的收益是y0.0486kx2kx3(0x0.0486)，则y0.0972kx3kx2(0x0.0486)令y0，得x0.0324或x0(舍去)当0x0；当0.0324x0.0486时，y0r0，得2r2；令y0，得0r2.所以当r2时，该容器的建造费用最少，为96千元，此时l.
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