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三反证法与放缩法学习目标1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式知识点一反证法思考什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？答案(1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的(2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义、定理矛盾梳理反证法(1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立(2)反证法证明不等式的一般步骤：假设命题不成立；依据假设推理论证；推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立知识点二放缩法思考放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？答案不等式的传递性；等量加(减)不等量为不等量梳理放缩法(1)放缩法证明的定义证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的这种方法称为放缩法(2)放缩法的理论依据不等式的传递性等量加(减)不等量为不等量同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较类型一反证法证明不等式例1设a0，b0，且ab，证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b2不可能同时成立证明由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1可知，ab22，即ab2，当且仅当ab1时等号成立(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a2及a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立反思与感悟当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾跟踪训练1设0a2,0b2,0c2，求证：(2a)c，(2b)a，(2c)b不可能都大于1.证明假设(2a)c，(2b)a，(2c)b都大于1，即(2a)c1，(2b)a1，(2c)b1，则(2a)c(2b)a(2c)b1，(2a)(2b)(2c)abc1.0a2,0b2,0c2，(2a)a21，同理(2b)b1，(2c)c1，(2a)a(2b)b(2c)c1，(2a)(2b)(2c)abc1，这与式矛盾(2a)c，(2b)a，(2c)b不可能都大于1.例2已知f(x)x2pxq，求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.证明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2，而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)2，矛盾，|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.反思与感悟(1)当欲证明的结论中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾跟踪训练2若a，b，c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x，求证：a，b，c中至少有一个大于零证明假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，则abc0，而abcx22yy22zz22x(x1)2(y1)2(z1)23，30，且(x1)2(y1)2(z1)20，abc0，这与abc0矛盾，因此假设不成立a，b，c中至少有一个大于0.类型二放缩法证明不等式例3已知实数x，y，z不全为零，求证：(xyz)证明x.同理可得y，z.由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得(xyz)反思与感悟(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，谨慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换成较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的跟踪训练3求证：12(nN且n2)证明k(k1)k2k(k1)(kN且k2)，即(kN且k2)分别令k2,3，n，得1，将这些不等式相加，得1，即1，1111，即12(nN且n2)成立.1用放缩法证明不等式时，下列各式正确的是()A.B.Cx2x3x23D|a1|a|1答案D解析对于A，x的正、负不定；对于B，m的正、负不定；对于C，x的正、负不定；对于D，由绝对值三角不等式知，D正确2用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为()Aa，b，c全不为0Ba，b，c至少有一个为0Ca，b，c至少有一个不为0Da，b，c至多有一个不为0答案C3如果abab，则实数a，b应满足的条件是_答案a0，b0，ab解析由及知a0，b0，又abab，即()2()0.ab，a0，b0，ab.4已知0a3,0b3,0c3.求证：a(3b)，b(3c)，c(3a)不可能都大于.证明假设a(3b)，b(3c)，c(3a).因为a，b，c均为小于3的正数，所以，从而有.但是.当且仅当abc时，中取等号显然与相矛盾，假设不成立，故命题得证1常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设常见词语至少有一个至多有一个唯一一个不是不可能全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个或两个以上是有或存在不全不都是2.放缩法证明不等式常用的技巧(1)增项或减项(2)在分式中增大或减小分子或分母(3)应用重要不等式放缩，如a2b22ab，ab2，(a，b，c0)(4)利用函数的单调性等一、选择题1P(a，b，c均为正数)与3的大小关系为()AP3BP3CP3DP3答案C解析P3.2设x，y，z都是正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数()A至少有一个不大于2B都小于2C至少有一个不小于2D都大于2答案C解析假设a，b，c都小于2，则abc6，又abcxyz6，与abc6矛盾所以a，b，c至少有一个不小于2.A、B、D可用特殊值法排除故选C.3已知a0，b0，c0，且a2b2c2，则anbn与cn(n3，nN)的大小关系为()AanbncnBanbncnCanbncnDanbncn答案B解析a2b2c2，221，01,01，yx，yx均为减函数当n3时，有n2，n2，nn221，anbncn.4设x0，y0，A，B，则A与B的大小关系为()AABBABCABDAB答案D解析x0，y0，AB.5对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与ab及ac中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中判断正确的个数为()A0B1C2D3答案C解析对于，假设(ab)2(bc)2(ca)20，这时abc，与已知矛盾，故(ab)2(bc)2(ca)20，故正确；对于，假设ab与ab及ac都不成立，这时abc，与已知矛盾，故ab与ab及ac中至少有一个成立，故正确；对于，显然不正确6设a，b，c是正数，Pabc，Qbca，Rcab，则“PQR0”是“P，Q，R同时大于零”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析必要性显然成立充分性：若PQR0，则P，Q，R同时大于零或其中有两个负的，假设其中有两个负的成立，不妨设P0，Q0，R0，因为P0，Q0，即abc，bca.所以abbcca.所以b0，与b0矛盾，故假设不成立，故充分性成立二、填空题7若A，则A与1的大小关系为_答案A1解析A1.共210个8用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：则ABC9090C180，这与三角形的内角和为180矛盾，故结论错误所以一个三角形不可能有两个直角假设ABC有两个直角，不妨设AB90.上述步骤的正确顺序是_答案解析由反证法的证明题步骤可知，正确顺序应该是.9已知aR，则，从大到小的顺序为_答案解析因为2，2，所以22，所以 .10某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在0,1上有意义，且f(0)f(1)，如果对于不同的x1，x20,1，满足|f(x1)f(x2)|x1x2|，求证：|f(x1)f(x2)|，那么它的反设应该是_答案存在x1，x20,1且x1x2满足|f(x1)f(x2)|x1x2|，使|f(x1)f(x2)|成立三、解答题11实数a，b，c，d满足abcd1，且acbd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数，证明假设a，b，c，d都是非负数由abcd1知，a，b，c，d0,1从而ac，bd，acbd1，即acbd1，与已知acbd1矛盾，a，b，c，d中至少有一个是负数12设n是正整数，求证：1.证明由2nnkn(k1,2，n)，得，当k1时，当k2时，当kn时，1.原不等式成立13设a，bR,0x1,0y1，求证：对于任意实数a，b必存在满足条件的x，y，使|xyaxby|成立证明假设对一切0x1,0y1，结论不成立，则有|xyaxby|.令x0，y1，得|b|；令x1，y0，得|a|；令xy1，得|1ab|.又|1ab|1|a|b|1，这与上式矛盾故假设不成立，原命题结论正确四、探究与拓展14完成反证法证题的全过程题目：设a1，a2，a7是由数字1,2，7任意排成的一个数列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数证明：假设p为奇数，则_均为奇数因为7个奇数之和为奇数，故有(a11)(a22)(a77)为_而(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)_.与矛盾，故p为偶数答案a11，a22，a77奇数0解析由假设p为奇数可知，(a11)，(a22)，(a77)均为奇数，故(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0为奇数，这与0为偶数相矛盾15已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明：是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明：.证明(1)由an13an1，得an13.又a1，所以是首项为，公比为3的等比数列所以an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知，因为当n1时，3n123n1，所以.于是1.所以.
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