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2.1预习课本P3034，思考并完成以下问题 (1)什么是数列？什么叫数列的通项公式？ (2)怎样求数列的通项公式？ (3)数列与函数有什么关系，数列通项公式与函数解析式有什么联系？ 1数列的概念(1)定义：按照一定次序排列的一列数称为数列(2)项：数列中的每个数叫做这个数列的项a1称为数列an的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，an称为第n项(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an点睛(1)数列中的数是按一定次序排列的因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现例如：1，1,1，1,1，；2,2,2，.2数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式点睛(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集1,2,3，n为定义域的函数解析式(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式1在函数f(x)中，令x1,2,3，得到一个数列，则这个数列的前5项是_答案：1，2，2若数列an的通项满足n2，那么15是这个数列的第_项解析：由n2可知，ann22n，令n22n15，得n5或n3(舍去)答案：53数列，的一个通项公式为_解析：观察各项知，其通项公式可以为an.答案：an4数列an中，a11，an11，则a4_.解析：a11，a212，a31，a41.答案：数列的概念及分类典例下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？(1)0,1,2,3,4；(2)0,1,2,3,4；(3)0,1,2,3,4，；(4)1，1,1，1,1，1，；(5)6,6,6,6,6.解(1)是集合，不是数列；(2)(3)(4)(5)是数列，其中(3)(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列，(4)是摆动数列，(5)是常数列判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan1，则是递减数列；若满足anan1，则是常数列；若an与an1的大小不确定时，则是摆动数列 活学活用1数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7；数列1,0，1，2与2，1,0,1是相同的数列；数列若用图象表示，从图象上看是一群孤立的点；数列的项数是无限的其中正确的是_(填序号)解析：不正确，数列不能用集合表示不正确，数列中的项是有次序的次序不同表示不同的数列正确数列的项数有有限的，也有无限的答案：2已知下列数列：(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018；(2)0，；(3)1，；(4)1，；(5)1,0，1，sin，；(6)9,9,9,9,9,9.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(将合理的序号填在横线上)解析：(1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列；(3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，也是无穷数列；(6)是常数列，也是有穷数列答案：(1)(6)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(6)(4)(5)数列的通项公式典例根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，；(2)，；(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，；(4)3,5,3,5,3,5，.解(1)观察数列中的数字，可以看到011，341,891,15161,24251，可发现ann21.(2)由观察法知这个数列的前四项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an(1)n.(3)由于数列9,99,999,9 999，的通项公式为an10n1.原数列的通项公式可记为an10n(10n1)1.(4)由于数列的奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式可用分段形式表示，记为an由于3与5的平均数为4,415,413.而“加1”与“减1”也就是(1)n，故通项公式还可记为an4(1) n.给出数列的前几项，求通项时，注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下4个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系(2)若n和n1项正负交错，那么符号用(1)n或(1)n1或(1)n1来调控(3)熟悉一些常见数列的通项公式(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的和”“差”“积”“商”后再进行归纳活学活用写出下列数列的一个通项公式：(1)1，3,5，7,9，；(2)1，2，3，4，；(3)1,11,111,1 111，.解：(1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(2)此数列的整数部分1,2,3,4，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为ann.(3)原数列的各项可变为9，99，999，9 999，易知数列9,99,999,9 999，的一个通项公式为an10n1.所以原数列的一个通项公式为an(10n1).求数列中的最大(小)项题点一：利用单调性求最值项1已知an，则数列an中的最小项为_解析：an1，点(n，an)在函数y1的图象上，在直角坐标系中作出函数y1的图象，由图象易知，当x(0，)时，函数单调递减a9a8a7a1a111.所以，数列an中最大的项是a10，最小的项是a9.答案：a9题点二：利用图象求最值项2在数列an中，an2n229n3，则此数列最大项的值是_解析：根据题意并结合二次函数的性质可得：an2n229n323223，所以，n7时，an取得最大值，最大项a7的值为108.答案：108题点三：比较法求最值项3已知数列an的通项公式是ann，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由解：法一：an1an(n2)n1(n1)n，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an.则a1a2a3a11a12，故数列an有最大项，为第9项和第10项，且a9a10109.法二：根据题意，令(n1)即(n1)解得9n10.又nN*，则n9或n10.故数列an有最大项，为第9项和第10项，且a9a10109.(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集1,2，n这一条件(2)可以利用不等式组(n1)找到数列的最大项；利用不等式组(n1)找到数列的最小项 层级一学业水平达标1数列0，的通项公式为_解析：数列可化为，观察可得：an.答案：an2根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有_个点解析：由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，则其通项公式为ann2，故第n个图形中的点数为n2.答案：n23数列an满足a1a21，an2an1an(nN*)，则a6_.解析：由题意得a3a2a12，a4a3a23，a5a4a35，a6a5a48.答案：84数列an中，a11，对于所有的n2，nN*都有a1a2a3ann2，则a3a5的值为_解析：由a1a2a3ann2，a1a24，a1a2a39，a3，同理a5.a3a5.答案：5已知数列an满足amnaman(m，nN*)，且a23，则a8_.解析：由amnaman，得a4a22a2a29，a8a24a2a43927.答案：276数列an的通项公式为ann25n，则an的第_项最小解析：an2.nN*，当n2或3时，an最小，an的第2或3项最小答案：2或37下面五个结论：数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；数列的项数是无限的；数列的通项公式是唯一的；数列不一定有通项公式；将数列看做函数，其定义域是N*(或它的有限子集1,2，n)其中正确的是_(填序号)解析：中数列的项数也可以是有限的，中数列的通项公式不唯一答案：8已知函数f(x)由下表定义：x12345f(x)41352若a15，an1f(an)(n1,2，)，则a2 016_.解析：a2f(a1)f(5)2，a3f(a2)f(2)1，a4f(a3)f(1)4，a5f(a4)f(4)5，可知数列an是循环数列周期为4，所以a2 016a4504a44.答案：49数列an的通项公式是ann27n6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？解：(1)当n4时，a4424766.(2)是令an150，即n27n6150，解得n16或n9(舍去)，即150是这个数列的第16项10已知函数f(x)2x2x，数列an满足f(log2an)2n.(1)求数列an的通项公式；(2)证明：数列an是递减数列解：(1)因为f(x)2x2x，f(log2an)2n，所以2log2an2log2an2n，所以，an2n，所以a2nan10，解得ann.因为an0，所以ann.(2)证明：0，所以an10对nN*恒成立得.答案：5已知数列an对任意的p，qN*满足apqapaq且a26，那么a10_.解析：a4a2a212，a6a4a218，a10a6a430.答案：306在数列an中，a12，nan1(n1)an2，则a4_.解析：当n1时，a22a122226；当n2时，2a33a2236220，a310；当n3时，3a44a32410242，a414.答案：147已知数列an的通项公式为anpnq(p，qR)，且a1，a2.(1)求an的通项公式；(2)是an中的第几项？(3)该数列是递增数列还是递减数列？解：(1)anpnq，又a1，a2，解得因此an的通项公式是ann1.(2)令an，即n1，所以n，解得n8.故是an中的第8项(3)由于ann1，且n随n的增大而减小，因此an的值随n的增大而减小，故an是递减数列8已知数列an的通项公式为an.(1)求证：0an3，所以01，所以011，即0an1.(2)令an，即1.所以，所以3n19，所以n.因为nN*，所以n2，即在区间内有数列中的项，且只有1项，此项为第2项
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