2018年秋高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法学案 新人教A版选修2-2.doc

2.2.1综合法和分析法学习目标：1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点(重点、易混点)2.会用综合法、分析法解决问题(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)顺推证法或由因导果法2分析法定义框图表示特点一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法逆推证法或执果索因法思考1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”思考2: 综合法与分析法有什么区别？提示综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因基础自测1思考辨析(1)综合法是执果索因的逆推证法()(2)分析法就是从结论推向已知()(3)所有证明的题目均可使用分析法证明()答案(1)(2)(3) 2命题“对于任意角，cos4 sin4 cos 2 ”的证明：“cos4 sin4 (cos2 sin2 )(cos2 sin2 )cos2 sin2 cos 2 ”，其过程应用了()A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用D间接证法B从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路3要证明AB，若用作差比较法，只要证明_解析要证AB，只要证AB0. 答案AB04将下面用分析法证明ab的步骤补充完整：要证ab，只需证a2b22ab，也就是证_，即证_，由于_显然成立，因此原不等式成立. 【导学号：31062143】解析用分析法证明ab的步骤为：要证ab成立，只需证a2b22ab，也就是证a2b22ab0，即证(ab)20.由于(ab)20显然成立，所以原不等式成立答案a2b22ab0(ab)20(ab)20合 作 探 究攻 重 难综合法的应用(1)已知a，b是正数，且ab1，证明：4.(2)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.求证：A的大小为；若sin Bsin C，证明ABC为等边三角形解(1)法一：a，b是正数且ab1，ab2，4.法二：a，b是正数，ab20，20，(ab)4.又ab1，4.法三：11224.当且仅当ab时，取“”号(2)由2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，所以cos A，所以A.因为ABC180，所以BC18060120，由sin Bsin C，得sin Bsin(120B)，sin B(sin 120cos Bcos 120sin B)，sin Bcos B，即sin(B30)1.因为0B120，所以30B30150，所以B3090，B60，所以ABC60，即ABC为等边三角形规律方法综合法的解题步骤跟踪训练1.如图221，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)证明：CDAE；(2)证明：PD平面ABE.图221证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知，AECD，又PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD.又ABAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.分析法的应用设a，b为实数，求证： (ab). 【导学号：31062144】证明当ab0时，0，(ab)成立当ab0时，用分析法证明如下：要证(ab)，只需证()22.即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.a2b22ab对一切实数恒成立，(ab)成立综上所述，不等式得证规律方法用分析法证明不等式的三个关注点(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、基本不等式、已知的重要不等式等.(2)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”“看”“需知” ，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件或充要条件.(3)分析法为逆推证明，因此在使用时要注意逻辑性与规范性，其格式一般为“要证，只要证.只需证，显然成立，所以成立”.跟踪训练3已知a，b是正实数，求证：.证明要证，只要证ab()即证(ab)()()，因为a，b是正实数，即证ab，也就是要证ab2，即()20.而该式显然成立，所以.综合法和分析法的综合应用探究问题1在实际解题时，综合法与分析法能否可以结合起来使用？提示：在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程2你会用框图表示综合法与分析法交叉使用时的解题思路？提示：用框图表示如下：其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论已知a、b、c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxlogxlogxlogxalogxblogxc.思路探究解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成整式不等式证明解要证明：logxlogxlogxlogxalogxblogxc，只需要证明logxlogx(abc)由已知0xabc.由公式0，0，0，又a，b，c是不全相等的正数，abc.即abc成立logxlogxlogxlogxalogxblogxc成立母题探究：1.(变条件)删掉本例条件“0x1”，求证：lglglglg alg blg c.证明要证lglglglg alg blg c，只需证lglg(abc)，即证abc.因为a，b，c为不全相等的正数，所以0，0，0，且上述三式中等号不能同时成立，所以abc成立，所以lglglglg alg blg c成立2(变条件)把本例条件“0x1”换成“abc1”，求证： .证明法一：由左式推证右式abc1，且a，b，c为互不相等的正数，bcacab.法二：由右式推证左式a，b，c为互不相等的正数，且abc1，(基本不等式) .规律方法分析综合法的解题思路分析综合法的解题思路是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证. 当 堂 达 标固 双 基1欲证成立，只需证() 【导学号：31062145】A()2()2B()2()2C()2()2D()2()2C0，0，故()2()2.2在ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，则ABC一定是()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形 D等边三角形C由sin Asin B0，所以cos C0，求证：3a32b33a2b2ab2.(请用分析法和综合法两种方法证明)证明法一：(综合法)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因为ab0，所以ab0,3a22b20，从而(3a22b2)(ab)0，所以3a32b33a2b2ab2.法二：(分析法)要证3a32b33a2b2ab2，只需证3a2(ab)2b2(ab)0，只需证(3a22b2)(ab)0，ab0.ab0,3a22b22a22b20，上式成立