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2抛_物_线21抛物线及其标准方程 抛物线的定义如右图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线问题1：曲线上点D到直线EF的距离是什么？提示：线段DA的长问题2：曲线上点D到定点C的距离是什么？提示：线段DC的长问题3：曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系？提示：相等抛物线的定义定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)距离相等的点的集合叫作抛物线焦点定点F准线定直线l抛物线的标准方程已知某定点和定直线l(定点不在定直线l上)，且定点到l的距离为6，曲线上的点到定点距离与到定直线l的距离相等在推导曲线的方程的过程中，由建系的不同，有以下点和直线A(3,0)，B(3,0)，C(0,3)，D(0，3)；l1：x3，l2：x3，l3：y3，l4：y3.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方向提示：y212x.向右问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示：y212x.向左问题3：到定点C和定直线l3距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示：x212y.向上问题4：到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示：x212y.向下抛物线的标准方程图像标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y1平面内与一定点F和一定直线l距离相等的点的集合是抛物线，定点F不在定直线上，否则点的轨迹是过点F垂直于直线l的直线2抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上 求抛物线的焦点坐标和准线方程例1指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向(1)yx2；(2)xay2(a0)思路点拨首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出p.再写出焦点坐标和准线方程精解详析(1)抛物线yx2的标准形式为x24y，p2，焦点坐标是(0,1)，准线方程是y1.抛物线开口向上(2)抛物线方程的标准形式为y2x，2p.当a0时，抛物线开口向右，焦点坐标是，准线方程是x；当a0时，开口向右；a0)或x22p2y(p20)，过点(3,2)，42p1(3)或92p22.p1或p2.故所求的抛物线方程为y2x或x2y.(2)令x0得y2，令y0得x4，抛物线的焦点为(4,0)或(0，2)当焦点为(4,0)时，4，p8，此时抛物线方程y216x；当焦点为(0，2)时，|2|，p4，此时抛物线方程为x28y.故所求的抛物线的方程为y216x或x28y.(3)由题意知，抛物线标准方程为x22py(p0)或x22py(p0)且p3，抛物线标准方程为x26y或x26y.一点通求抛物线标准方程的方法有：(1)定义法，求出焦点到准线的距离p，写出方程(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2ay(a0)3(陕西高考)设拋物线的顶点在原点，准线方程为x2，则拋物线的方程是()Ay28x By28xCy24x Dy24x解析：由准线方程x2，可知拋物线为焦点在x轴正半轴上的标准方程，同时得p4，所以标准方程为y22px8x.答案：B4抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上一点(5,2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程是_解析：因为点(5,2)在第二象限，且以原点为顶点，x轴为对称轴，故抛物线开口向左，设其方程为y22px，把(5,2)代入得p2，故所求方程为y24x.答案：y24x5已知焦点在x轴上，且抛物线上横坐标为3的点A到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程解：由题意，设抛物线方程为y22px(p0)，其准线为x.A到焦点的距离为5，A到准线的距离也是5，即35，解得p4.故所求的抛物线标准方程为y28x.抛物线标准方程的实际应用 例3某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4 m，此车能否通过此隧道？请说明理由思路点拨可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5 m处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断精解详析建立如图所示的平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)，当x3时，y3，即点(3，3)在抛物线上代入得2p3，故抛物线方程为x23y.已知集装箱的宽为3 m，当x时，y，而桥高为5 m，所以544.故卡车可通过此隧道一点通1本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题2在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系这样可使得方程的形式更为简单，便于计算6某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶6 m时，水面宽10 m，抛物线的方程可能是()Ax2y Bx2yCx2y Dx2y解析：建立直角坐标系如图，设抛物线方程为x22py(p0)，则P(5，6)在抛物线上252p(6)，p.抛物线方程为x2y.答案：A7某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)依题意知，点P(10，4)在抛物线上，1002p(4)，2p25.即抛物线方程为x225y.每4米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6，2,2,6.由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x225y，得yB.|AB|43.84，即最长支柱的长为3.84米1确定抛物线的标准方程，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx(m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my(m0)2求抛物线标准方程的方法：特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论 1抛物线yx2的焦点坐标是()A(0，4)B(0，2)C(，0) D(，0)解析：抛物线方程可化成x28y，所以焦点坐标为(0，2)，故选B.答案：B2若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()A4 B2C6 D8解析：a26，b22，c2a2b24，c2.椭圆的右焦点为(2,0)，2，p4.答案：A3抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值为()A. BC8 D8解析：由yax2，得x2y，2，a.答案：B4若动圆与圆(x2)2y21外切，又与直线x10相切，则动圆圆心的轨迹方程是()Ay28x By28xCy24x Dy24x解析：设动圆的半径为r，圆心O(x，y)，且O到点(2,0)的距离为r1，O到直线x1的距离为r，所以O到(2,0)的距离与到直线x2的距离相等，由抛物线的定义知y28x.答案：A5抛物线y22px过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为_解析：因为y22px过点M(2,2)，于是p1，所以点M到抛物线准线的距离为2.答案：6已知点P(6，y)在抛物线y22px(p0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于_解析：抛物线y22px(p0)的准线为x，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以68，所以p4，故焦点F到抛物线准线的距离等于4.答案：47由条件解下列各题的标准方程及准线方程(1)求焦点在直线2xy50上的抛物线的标准方程及其准线方程(2)已知抛物线方程为2x25y0，求其焦点和准线方程(3)已知抛物线方程为ymx2(m0)，求其焦点坐标及准线方程解：(1)直线2xy50与坐标轴的交点为，(0,5)，以此两点为焦点的抛物线方程分别为y210x，x220y.其对应准线方程分别是x，y5.(2)抛物线方程即为x2y，焦点为，准线方程：y.(3)抛物线方程即为x2y(m0)，焦点为，准线方程y.8.如图，已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是，45，p2.所以抛物线方程为y24x.(2)因为点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，所以kAF.因为MNFA，所以kMN.则FA的方程为y(x1)，MN的方程为yx2.解方程组得所以N.22抛物线的简单性质 太阳能是最清洁的能源太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个问题2：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？提示：椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点问题3：抛物线有对称中心吗？提示：没有问题4：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？提示：有；1条抛物线的简单性质类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图像性质焦点FFFF准线xxyy范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下通径过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点P1，P2，线段P1P2叫抛物线的通径，长度|P1P2|2p1抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；2抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；3抛物线的离心率是确定的，e1；4抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为. 利用抛物线性质求标准方程例1已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交的公共弦长等于2，求这条抛物线的方程思路点拨因为圆和抛物线都关于x轴对称，所以它们的交点也关于x轴对称，即公共弦被x轴垂直平分，于是由弦长等于2，可知交点纵坐标为.精解详析如图，设所求抛物线的方程为y22px(p0)或y22px(p0)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，2p，p，抛物线方程为y2x，同理，当抛物线的焦点在x轴负半轴上时，方程为y2x.答案：C3已知抛物线y22px(p0)，有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为2，一直角边所在的直线方程是y2x，求此抛物线的方程解：由题意得另一直角边所在的直线方程是yx.由得三角形的一顶点为，由得三角形的另一个顶点为(8p，4p)，由已知，得2(4pp)2(2)2.解得p.故所求抛物线的方程为y2x.抛物线的定义及性质的应用例2若动点M到点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1，求动点M的轨迹方程思路点拨“点M与点F的距离比它到直线l：x50的距离小1”，就是“点M与点F的距离等于它到直线x40的距离”，由此可知点M的轨迹是以F为焦点，直线x40为准线的抛物线精解详析如图，设点M的坐标为(x，y)由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x40的距离根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线，且4，即p8.因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为：y216x.一点通由于抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，所以常把抛物线上点到焦点距离转化为到准线距离处理即：若p(x0，y0)是抛物线y22px上任意一点，则p到焦点F的距离为|PF|x0(称为焦半径)4平面上点P到定点(0，1)的距离比它到y2的距离小1，则点P轨迹方程为_解析：由题意，即点P到(0，1)距离与它到y1距离相等，即点P是以(0，1)为焦点的抛物线，方程为x24y.答案：x24y5已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点坐标解：将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d，由图可知，当PAl时，|PA|d最小，最小值为，设P(x0，y0)，则y02，x02.故P点坐标为(2,2).与焦点弦有关的问题例3已知抛物线y22px(p0)，直线l过抛物线焦点F与抛物线交于A，B两点求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切思路点拨解答本题可设出A，B两点坐标，并用A，B的坐标表示圆心坐标，然后证明圆心到准线的距离为圆的半径精解详析设直线l与抛物线两交点A，B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则中点M.而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p.设圆心M到准线x的距离为d，则d，d，即圆心到准线x的距离等于圆的半径以AB为直径的圆与抛物线的准线相切一点通1涉及抛物线的焦半径、焦点弦长问题可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB是抛物线y22px(p0)过焦点F的一条弦，则|AB|x1x2p，x1x2，y1y2p2.6过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，则|AB|的值为()A10 B8C6 D4解析：如图，y24x，2p4，p2.由抛物线定义知：|AF|x11，|BF|x21，|AB|AF|BF|x1x22628.答案：B7(江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|()A2 B12C1 D13解析：如图，直线MF的方程为1，即x2y20.设直线MF的倾斜角为，则tan .由抛物线的定义得|MF|MQ|.所以sin .答案：C1抛物线y22px上的点P(x0，y0)到焦点F的距离(焦半径)：|PF|x0.2若过抛物线y22px的焦点的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|x1x2p(焦点弦公式)当ABx轴时，AB为通径且|AB|2p.3解决与焦点弦有关的问题：一是注意运用焦点弦所在直线方程和抛物线方程联立方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦、焦半径公式的应用，注意整体思想的运用 1设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，抛物线上的点(k，2)与F的距离为4，则k的值为()A4B2C4或4 D2或2解析：由题意知抛物线方程可设为x22py(p0)，则24，p4，x28y，将(k，2)代入得k4.答案：C2已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B1C. D.解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|BF|).答案：C3(新课标全国卷)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上的一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2B2C2D4解析：如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由|PF|x04，得x03，代入抛物线方程得，y4324，所以|y0|2，所以SPOF|OF|y0|22.答案：C4设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|等于()A4 B8C8 D16解析：由抛物线的定义得，|PF|PA|，又由直线AF的斜率为，可知PAF60.PAF是等边三角形，|PF|AF|8.答案：B5顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是_解析：设抛物线的方程为y22ax，则F.|y|a|.由于通径长为6，即2|a|6，a3.抛物线方程为y26x.答案：y26x6对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)则使抛物线方程为y210x的必要条件是_(要求填写合适条件的序号)解析：由抛物线方程y210x，知它的焦点在x轴上，所以适合又它的焦点坐标为F，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPOkPF1，也合适而显然不合适，通过计算可知不合题意应填序号为.答案：7已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM|的值解：设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点坐标为，准抛物线方程为x.M在抛物线上，M到焦点的距离等于到准线的距离，即 3.解得：p1，y02，抛物线方程为y22x.点M(2，2)，根据两点间距离公式有：|OM|2.8已知yxm与抛物线y28x交于A，B两点(1)若|AB|10，求实数m的值；(2)若OAOB，求实数m的值解：由得x2(2m8)xm20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x282m，x1x2m2，y1y2m(x1x2)x1x2m28m.(1)因为|AB|10，所以m.(2)因为OAOB，所以x1x2y1y2m28m0，解得m8，m0(舍去)故实数m的值为8.
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