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第19讲概率、统计、统计案例1.2018全国卷我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118试做命题角度古典概型求古典概型概率的方法:直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率,再运用互斥事件概率的加法公式计算.间接法:先求事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(A)求概率,即运用逆向思维(正难则反),特别是对“至多”“至少”型题目,用间接法求解更简便.易错点:当事件A,B为互斥事件时,有P(A+B)=P(A)+P(B),否则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).2.(1)2018全国卷如图M6-19-1所示,来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则()图M6-19-1A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3(2)2017全国卷如图M6-19-2所示,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 ()图M6-19-2A.14B.8C.12D.4试做命题角度几何概型利用几何概型概率公式求解.处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是,通过转化,将某一事件所包含的事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来,如把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上一个区域,进而转化为面积的度量来解决.易错点:利用几何概型的概率公式时,不要忽视事件是否等可能.3.2018全国卷某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)P(X=6),则p= ()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3试做命题角度n次独立重复试验的期望与方差关键一:确定n的值;关键二:利用方差公式D(X)=np(1-p)求解.小题1用样本估计总体1 (1)某机构为了解“跑团”每月跑步的平均里程,收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位:km)的数据,得到如图M6-19-3所示的折线图.图M6-19-3根据折线图,下列结论正确的是 ()A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程的峰值出现在9月份D.1月至5月的月跑步的平均里程相对于6月至11月,波动性较小,变化比较平稳(2)为了了解一批产品的长度(单位:mm)情况,现抽取容量为400的样本进行检测,如图M6-19-4所示是检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在25,30)的为一等品,在20,25)和30,35)的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为.图M6-19-4听课笔记 【考场点拨】用频率分布直方图估计总体的数字特征应注意以下几点:(1)频率分布直方图的纵轴是频率组距,而不是频率;(2)在频率分布直方图中每个小长方形的面积才是相应区间的频率,在应用和作频率分布直方图时要注意;(3)最高的小长方形底边中点的横坐标是众数;(4)平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是中位数;(5)频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和是中位数.【自我检测】1.甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图M6-19-5所示,甲、乙两组数据的平均数分别为x甲,x乙,标准差分别为甲,乙,则 ()图M6-19-5A.x甲x乙,甲乙B.x甲乙C.x甲x乙,甲x乙,甲乙2.从某中学甲、乙两班中各随机抽取10名同学,测量他们的身高(单位:cm),所得数据用茎叶图表示,如图M6-19-6,由此可估计甲、乙两班同学的身高情况,则下列结论正确的是()图M6-19-6A.甲班同学身高的方差较大B.甲班同学身高的平均值较大C.甲班同学身高的中位数较大D.甲班同学身高在175 cm以上的人数较多3.已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为x,方差为s2,则 ()A.x=4,s22C.x4,s24,s224.为了解某校一次期中考试数学成绩的情况,抽取100位学生的数学成绩(单位:分),得到如图M6-19-7所示的频率分布直方图,其中成绩分组区间是40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,则估计该次考试数学成绩的中位数是()图M6-19-7A.71.5B.71.8C.72D.75小题2变量间的相关关系、统计案例2 (1)随着国家“二孩政策”的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女,结果如下表.非一线一线总计愿意生452065不愿意生132235总计5842100附表:P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828由K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)算得,K2的观测值k=100(4522-2013)2584235659.616,参照附表,得到的正确结论是 ()A.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”B.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”C.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”D.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”(2)某公司在对一种新产品进行合理定价前,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x(元)456789销量y(件)908483807568由表中数据,求得线性回归方程为y=-4x+a,当产品的销量为76件时,产品的单价大致为元.听课笔记 【考场点拨】(1)回归直线一定过样本点的中心(x,y).(2)随机变量K2的观测值k越大,说明“两个变量有关系”的可能性越大.【自我检测】1.某中学的兴趣小组将在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图M6-19-8所示,则下列说法错误的是()图M6-19-8A.沸点与海拔高度呈正相关B.沸点与气压呈正相关C.沸点与海拔高度呈负相关D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强2.假设两个分类变量X和Y的22列联表如下:YXy1y2总计x1a10a+10x2c30c+30总计6040100对同一样本,以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为 ()A.a=45,c=15B.a=40,c=20C.a=35,c=25D.a=30,c=303.已知变量x,y具有线性相关关系,它们之间的一组数据如下表所示:x1234y0.11.8m4若y关于x的回归方程为y=1.3x-1,则m=.小题3古典概型与几何概型3 (1)已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球.现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋,再从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为 ()A.13B.12C.59D.29(2)如图M6-19-9,E,F,G,H是平面四边形ABCD各边的中点,若在平面四边形ABCD内任取一点,则该点取自阴影部分的概率是 ()图M6-19-9A.14B.12C.34D.58听课笔记 【考场点拨】求解概率题的几个失分点:(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误;(2)古典概型问题中如涉及“至多”“至少”等事件的概率计算时,没有转化为求其对立事件的概率,来简化运算;(3)几何概型中,基本事件对应的区域测度把握不准导致错误;(4)利用概率公式时,忽视验证事件是否等可能导致错误.【自我检测】1.为了弘扬我国优秀传统文化,某中学广播站在中国传统节日:春节,元宵节,清明节,端午节,中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵,那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.72.如图M6-19-10,半径为R的圆O内有四个半径相等的小圆,其圆心分别为A,B,C,D,这四个小圆都与圆O内切,且相邻两小圆外切,图M6-19-10则在圆O内任取一点,该点恰好取自阴影部分的概率为()A.12-82B.6-42C.9-62D.3-223.已知M是半径为R的圆上的一个定点,在圆上等可能地任取一点N,连接MN,则弦MN的长度超过2R的概率是()A.15B.14C.13D.124.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子,观察向上的点数,则事件“点数之积是3的倍数”的概率为.小题4条件概率、相互独立事件与独立重复试验4 (1)从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球,摸到红球、白球和黄球的概率分别为12,13,16.若从袋中随机摸出1个球,记下颜色后放回,连续摸3次,则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为()A.536B.13C.512D.12(2)一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=a1a2a3a4a5,其中A的各位数字中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为13,出现1的概率为23.若启动一次出现的数字为A=10101,则称这次试验成功,若成功一次得2分,失败一次得-1分,则100次重复试验的总得分X的方差为.听课笔记 【考场点拨】求相互独立事件同时发生的概率的方法:(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积;(2)正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.特别提醒:利用独立重复试验的概率公式计算概率时,其计算量往往很大,计算时要小心谨慎,以确保计算的正确.【自我检测】1.某电视台“夏日水上闯关”节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.7,0.6,只有通过前一关才能进入下一关,且是否通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手只闯过前两关的概率为()A.0.56B.0.336C.0.32D.0.2242.据统计,连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055,连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病,则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为 ()A.67B.335C.1135D.0.193.设随机变量B(2,p),B(4,p),若P(1)=59,则P(2)的值为 ()A.3281B.1127C.6581D.16814.设随机变量XB6,12,则P(X=3)=.第19讲概率、统计、统计案例典型真题研析1.C解析 不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中任取两个有C102种取法,其中和为30的有3种,即(7,23),(11,19),(13,17),所以所求概率P=3C102=115.2.(1)A(2)B解析 (1)设AB=a,AC=b,BC=c,则a2+b2=c2.记ABC的面积为S1,黑色部分的面积为S2,则S2=12a22+12b22+12ab-12c22=18(a2+b2-c2)+12ab=12ab=S1.根据几何概型的概率计算公式可知p1=p2.(2)根据对称性,图中黑色部分、白色部分的面积相等.设正方形的边长为2,则正方形的面积为4,图中圆的面积为,故黑色部分的面积为2,所以所求的概率为24=8.3.B解析 由DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6.由P(X=4)=C104p4(1-p)60.5,故p=0.6.故选B.考点考法探究小题1例1(1)D(2)100解析 (1)由折线图知,月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数,月跑步平均里程不是逐月增加的,月跑步平均里程的峰值出现在10月份,故A,B,C中结论不正确,故选D.(2)由题意得,三等品的频率为(0.012 5+0.025 0+0.012 5)5=0.25,样本中三等品的件数为4000.25=100.【自我检测】1.C解析 由图可知,甲同学的平均成绩高于乙同学,且甲同学的成绩更稳定,即x甲x乙,甲乙,故选C.2.A解析 观察茎叶图可知甲班同学身高的数据波动大,所以甲班同学身高的方差较大,A中结论正确;甲班同学身高的平均值为181+182+170+172+178+163+165+166+157+15810=169.2,乙班同学身高的平均值为182+171+172+176+178+179+162+164+167+15910=171,所以乙班同学身高的平均值较大,B中结论错误;甲班同学身高的中位数为166+1702=168,乙班同学身高的中位数为171+1722=171.5,所以乙班同学身高的中位数较大,C中结论错误;甲班同学身高在175 cm以上的有3人,乙班同学身高在175 cm以上的有4人,所以乙班同学身高在175 cm以上的人数较多,D中结论错误.故选A.3.A解析 某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为x,方差为s2,x=74+48=4,s2=72+(4-4)28=746.635,可得有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”,或在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”,所以选B.(2)由表中数据得,x=6.5,y=80,a=80+46.5=106,回归方程为y=-4x+106.当y=76时,76=-4x+106,x=7.5.【自我检测】1.A解析 结合散点图可得,沸点与气压呈正相关,气压与海拔高度呈负相关,所以沸点与海拔高度呈负相关,且沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强.故选A.2.A解析 由题意易知,若|a-c|越大,则X与Y有关系的可能性越大,结合选项计算可得A选项符合题意.故选A.3.3.1解析 由题意得x=1+2+3+44=2.5,代入到线性回归方程y=1.3x-1,得y=2.25.0.1+1.8+m+4=42.25=9,m=3.1.小题3例3(1)B(2)B解析 (1)先从甲袋中取出1个球放入乙袋,再从乙袋中取出1个球的基本事件总数为C21C51=10,取出红球的基本事件总数为C11C31+C11C21=5,所以从乙袋中取出红球的概率P=510=12.故选B.(2)连接AC,与HE,FG分别交于点M,N,如图所示,设点D到AC的距离为h,则SADC=12ACh,S四边形HGNM=HG12h=14ACh,S四边形HGNM=12SADC,S四边形HGFE=12S四边形ABCD,所求概率是12,故选B.【自我检测】1.D解析 春节和端午节至少有一个被选中的对立事件是春节和端午节都没有被选中,而春节和端午节都没有被选中的概率为C32C52=0.3,所以春节和端午节至少有一个被选中的概率为1-0.3=0.7.故选D.2.A解析 设小圆的半径为r,根据题意可知四边形ABDC为正方形,OA=2r.由R-2r=r,得r=R2+1=(2-1)R,所以大圆的面积为R2,四个小圆的面积为4(2-1)2R2.由几何概型的概率计算公式可得,所求概率为4(2-1)2R2R2=12-82.故选A.3.D解析 本题可利用几何概型求解.如图,O为圆心,NP为直径,且MONP.根据题意可得,该圆的周长为2R,满足条件“弦MN的长度超过2R”的点N所在的弧是NP,且其长度为R,则弦MN的长度超过2R的概率P=12.故选D.4.59解析 总事件数为66=36.当第1次掷骰子向上的点数为1,2,4,5时,满足条件的事件有(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(4,3),(4,6),(5,3),(5,6),共8个;当第1次掷骰子向上的点数为3,6时,满足条件的事件有26=12(个).所以所有满足条件的事件共20个,所求概率P=2036=59.小题4例4(1)C(2)30800729解析 (1)满足题意时,记下的颜色应是2个红1个白或者2个白1个红,据此可得,所求概率为C3212132+C3212213=512.(2)启动一次出现数字为A=10101的概率P=132232=481.设100次独立重复试验中成功的次数为,则B100,481,D()=1004817781=308006561.X=2-1(100-)=3-100,D(X)=D(3-100)=9D()=30800729.【自我检测】1.D解析 该选手只闯过前两关的概率为0.80.7(1-0.6)=0.224,故选D.2.A解析 设事件A为连续熬夜48小时诱发心脏病,事件B为连续熬夜72小时诱发心脏病.由题意可知,P(A)=0.055,P(B)=0.19,则P(A)=0.945,P(B)=0.81,由条件概率计算公式可得,P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=0.810.945=67.3.B解析 由P(1)=59,得C21p(1-p)+C22p2=2p-p2=59,p=13,P(2)=C42p2(1-p)2+C43p3(1-p)+C44p4=61949+412723+181=1127,故选B.4.516解析 因为XB6,12,所以P(X=3)=C63123123=516.备选理由 例1主要考查条形图的识别以及应用;例2为高考试题,考查22列联表的应用;例3考查古典概型,需要在一定的排列组合计数的基础上完成;例4考查几何概型,涉及数学史,可以开拓学生的视野和应用意识;例5需要对所给的问题进行判断,属于二项分布问题,考查二项分布的方差.例1配例1使用下图是某企业在2008年2017年企业产值的年增量(即当年产值比前一年产值增加的量)统计图(单位:万元),下列说法正确的是 ()A.2009年产值比2008年产值少B.从2011年到2015年,产值年增量逐年减少C.产值年增量的增量最大的是2017年D.2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低解析 D由图,2009年产值比2008年产值多29 565万元,故A中说法错误;2013年的产值年增量大于2012年的,故B中说法错误;产值年增量的增量最大的不是2017年,故C中说法错误;因为增长率等于增长量除以上一年产值,由于上一年产值不确定,所以2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低,故D中说法正确.故选D.例2配例2使用 2014江西卷某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是 ()表1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2视力性别好差总计男41620女122032总计163652表3智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A.成绩B.视力C.智商D.阅读量解析 D根据独立性检验计算可知,阅读量与性别有关联的可能性较大.例3配例3使用若20件产品中有16件一级品,4件二级品,从中任取2件,则这2件中至少有1件二级品的概率是 ()A.41190B.3295C.719D.395解析 C由题意,从20件产品中任取2件的情况总数为C202=190,其中至少有1件二级品的情况数为C161C41+C42=70,由古典概型的概率计算公式可得所求概率为70190=719,故选C.例4配例3使用中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”,通过数形结合,给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中,以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成,这一图形被称作“赵爽弦图”.若cos 2BAE=725,则在正方形ABCD内随机取一点,该点恰好在正方形EFGH内的概率为 ()A.2425B.45C.35D.125解析 D如图可知,正方形EFGH的边长为a-b,正方形ABCD的边长为a2+b2.由题意知cos 2BAE=2cos2BAE-1=2a2a2+b2-1=725,得9a2=16b2,即a=43b.所求概率为(a-b)2a2+b2=19b2259b2=125.故选D.例5配例4使用 2017全国卷一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=.答案 1.96解析 XB(100,0.02),故D(X)=1000.020.98=1.96.
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