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2.2.1椭圆的标准方程学习目标1.掌握椭圆的标准方程.2.会求椭圆的标准方程.3.能用标准方程判断曲线是不是椭圆.知识点一椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.知识点二椭圆的标准方程思考在椭圆方程中，a，b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？答案在椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间的距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距.a，b，c始终满足关系式a2b2c2.梳理椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c,0)与(c,0)(0，c)与(0，c)a，b，c的关系c2a2b21.到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.()2.椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.()3.椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2b2c2.()类型一椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B；(2)经过点(3，)，且与椭圆1有共同的焦点.考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程解(1)方法一当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0).点A(0,2)，B在椭圆上，解得这与ab相矛盾，故应舍去.当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0).点A(0,2)，B在椭圆上，解得椭圆的标准方程为x21.综上可知，椭圆的标准方程为x21.方法二设椭圆的标准方程为mx2ny21(m0，n0，mn).点A(0,2)，B在椭圆上，故椭圆的标准方程为x21.(2)方法一椭圆1的焦点为(4,0)和(4,0)，由椭圆的定义，可得2a，2a12，即a6.c4，b2a2c2624220，椭圆的标准方程为1.方法二由题意可设椭圆的标准方程为1(9)，将x3，y代入上面的椭圆方程，得1，解得11或21(舍去)，椭圆的标准方程为1.反思与感悟求椭圆标准方程的方法(1)定义法即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程.(2)待定系数法先确定焦点位置；设出方程；寻求a，b，c的等量关系；求a，b的值，代入所设方程.特别提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0).跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0,2)，并且椭圆经过点；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点P(2，1)，Q(，2).考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程解(1)椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0).由椭圆的定义知，2a2，即a.又c2，b2a2c26.所求椭圆的标准方程为1.(2)椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(ab0).又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所求椭圆的标准方程为x21.(3)设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn).点P(2，1)，Q(，2)在椭圆上，代入得所求椭圆的标准方程为1.例2若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围为_.考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案(0,1)解析方程1表示焦点在y轴上的椭圆，将方程改写为1，解得0m1.反思与感悟(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式.(2)1表示椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是跟踪训练2(1)已知方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为_.考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案(7,10)解析将方程化成椭圆的标准形式为1.根据其表示焦点在x轴上的椭圆，得解得7kPF2，求的值.考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用解当PF2F190时，由得PF1，PF2，.当F1PF290时，同理求得PF14，PF22，2.综上，或2.1.在椭圆的标准方程中，a6，b，则椭圆的标准方程是_.考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程答案1或12.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为_.考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程答案1解析依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知其左焦点为F(2,0)，从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的标准方程为1.3.已知椭圆4x2ky24的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值为_.考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案2解析由题意得椭圆标准方程为x21.又其一个焦点坐标为(0,1)，故11，解得k2.4.“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的_条件.考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用、条件判断答案充要解析方程可化为1.若mn0，则00，可得mn0.5.设P是椭圆1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则PF1F2的面积为_.考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案6解析由椭圆定义知PF1PF22a8，不妨设PF1PF2.PF1PF22，PF15，PF23，又F1F22c4，PF1F2为直角三角形，则436.1.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解.2.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2By21(A0，B0，AB)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.一、填空题1.已知椭圆C上任意一点P(x，y)都满足关系式4，则椭圆C的标准方程为_.考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案1解析由题设可知，椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为(1,0)，(1,0)，2a4，故a2，c1，所以b23，所以椭圆C的标准方程为1.2.已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且AB3，则椭圆C的标准方程为_.考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程答案1解析由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c1，可设椭圆C的方程为1(a1)，又椭圆C由过F2且垂直于x轴的直线截得的弦长AB3，知点必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a417a240，所以a24或a2(舍去).故椭圆C的标准方程为1.3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(2，0)，且a2b，则该椭圆的标准方程是_.考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程答案1解析设椭圆的标准方程是1(ab0).由题意知解得所以椭圆的标准方程为1.4.已知椭圆1的焦距为4，则m_.考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案4或8解析(1)当焦点在x轴上时，10m(m2)4，解得m4.(2)当焦点在y轴上时，m2(10m)4，解得m8.m4或8.5.“2k5”是“方程1”表示的曲线是椭圆的_条件.考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用、条件判断答案必要不充分解析由方程1表示的曲线是椭圆，可得解得2k5且k，所以2k5且k2k5.而2k5推不出2k5且k.所以“2k5”是“方程1”表示椭圆的必要不充分条件.6.椭圆1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON_.考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案4解析如图，F2为椭圆右焦点，连结MF2，则ON是F1MF2的中位线，ONMF2.又MF12，MF1MF22a10，MF28，ON4.7.设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线l与椭圆相交于A，B两点，且AF2，AB，BF2成等差数列，则AB的长为_.考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案解析椭圆E：x21(0bb0).由题意得解得a2，b1.椭圆方程为x21.12.如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆C：1(ab0)的左、右两个焦点分别为F1，F2.过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M(，1)，求椭圆C的标准方程.考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程解直线lx轴，M(，1)，F2的坐标为(，0)，由题意知椭圆的焦点在x轴上，标准方程为1(ab0)，则解得所求椭圆C的标准方程为1.13.已知椭圆1(ab0)的焦点坐标分别为F1(0，1)，F2(0,1)，且3a24b2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在这个椭圆上，且PF1PF21，求F1PF2的余弦值.考点椭圆标准方程的求法，椭圆的定义题点定义法求椭圆的标准方程、定义的应用解(1)由题意得椭圆的焦点在y轴上，且c1.又3a24b2，a2b2a2c21，a24，b23，椭圆的标准方程为1.(2)如图所示，PF1PF21.又由椭圆定义知，PF1PF24，PF1，PF2，F1F22，cosF1PF2.三、探究与拓展14.已知c是椭圆1(ab0)的半焦距，则的取值范围为_.考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案(1，解析如图，sincossin，又为锐角，故(1，.15.已知椭圆1(0b2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2AF2的最大值为5，则b的值为_.考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案解析由题意知a2，所以BF2AF2AB4a8，因为BF2AF2的最大值为5，所以AB的最小值为3，当且仅当ABx轴时，取得最小值，此时A，B，代入椭圆方程得1，又c2a2b24b2，所以1，即11，所以，解得b23，所以b.
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