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第22讲三角函数应用题1.(2018苏州学业阳光指标调研)如图,B,C分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨公路相连,B,C之间的距离为100km,海岛A在城市B的正东方50km处.从海岛A到城市C,先乘船按北偏西角2,其中锐角的正切值为12航行到海滨公路P处登陆,再换乘汽车到城市C.已知船速为25km/h,车速为75km/h.(1)试建立由A经P到C所用时间与的函数解析式;(2)试确定使所用时间最少的登陆点P的位置,并说明理由.2.如图,有一椭圆形花坛,O是其中心,AB是椭圆的长轴,C是短轴的一个端点.现欲铺设灌溉管道,拟在AB上选两点E,F,使OE=OF,沿CE、CF、FA铺设管道,设BFC=,若OA=20m,OC=10m,(1)求管道长度u关于角的函数;(2)求管道长度u的最大值.3.(2018徐州铜山高三年级第三次模拟)某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务,为了保证直升飞机降落准确、安全地降落,在门诊楼AB和综合楼CD的楼上安装导航标志,已知两楼的地面距离AC=50m,在A,C之间取一导航标志观测点P,当点P在AC中点时,测得两楼顶导航标志的张角BPD=45,若ACB=45.(1)求两导航标记距离地面的高度AB、CD;(2)要使在点P处看两楼顶导航标志的张角BPD最大,点P应在何处?答案精解精析1.解析(1)由题意,船航行的方位角为,所以BAP=90-,AB=50km,则AP=50cos(90-)=50sinkm,BP=50tan(90-)=50sin(90-)cos(90-)=50cossinkm,PC=100-BP=100-50cossinkm,由A到P所用的时间为t1=AP25=2sin,由P到C所用的时间为t2=100-50cossin75=43-2cos3sin,所以由A经P到C所用时间与的函数关系为f()=t1+t2=2sin+43-2cos3sin=6-2cos3sin+43,函数f()的定义域为,2,其中锐角的正切值为12,(2)由(1),f()=6-18cos9sin2,令f()=0,解得cos=13,设00,2,其中cos0=13,列表如下:(,0)00,2f()-0+f()减函数极小值增函数所以,当=0时,函数f()取得最小值,此时BP=50cos0sin0=252217.68km.答:在BC上选择距离B点17.68km处为登陆点,所用时间最少.2.解析(1)因为CF=10sin,OF=10tan,AF=20-10tan,由OE=OF,知,CE=CF,所以u()=CE+CF+AF=20sin+20-10tan=20+20-10cossin,其中0cos255.(2)由u()=20+20-10cossin,得u()=10-20cossin2,令u()=0得cos=12,当0cos0,函数u()为增函数,当12cos255时,u()0恒成立,所以tanBPD=f(t)0,从而BPD0,2,而正切函数在0,2上为增函数,所以当f(t)取最大值时,BPD也最大.
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