lry-偏微分方程的推导.ppt

1 第2章偏微分方程2 1引言 2 方程的阶数 方程中出现的偏导数的最高阶数 线性方程 方程经过有理化并消去分式后 若方程中没有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项 非线性方程 方程经过有理化并消去分式后 若方程中有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项 拟线性方程 在非线性方程中 若仅对未知函数的所有最高阶导数是线性的 3 自由项 在线性方程中 不含未知函数及其偏导数的项 齐次方程 自由项为零 非齐次方程 自由项不为零 一阶 线性 非齐次 二阶 拟线性 齐次 二阶 非线性 非齐次 4 5 结论 偏微分方程的通解包含有任意函数 或者说其通解形式是不确定的 因此解偏微分方程 一般不是先求通解 后由定解条件确定特解 只有少数情况例外 而是直接求特解 一个特定形式的偏微分方程可以描述许多物理现象的共性规律 它可以有很多不同形式的特解 所以可称为泛定方程 6 2 2二阶偏微分方程的分类 7 8 9 10 2 3基本方程的导出 泛定方程的建立也就是把物理规律 翻译 成数学物理方程 微元法 先选择表示系统运动状态的物理量 再任取体系中的一个小部分 分析这一部分所受的作用 以及它在物理规律的支配下所引起的运动变化情况 导出泛定方程 一 弦的横振动方程 几个条件 均匀细绳 为常数 作为一维空间来处理 细绳 轻绳 忽略重力影响 柔软 横截面方向上无应力 无切变力 张力沿弦切线 微小振动 弦切线与x轴夹角 0或 横向振动 弦上各点的振动方向垂直于振动的传播方向 11 设弦的平衡状态沿x方向 且在同一平面振动 由于是微振动 12 根据牛顿第二定律 13 弦的自由横振动方程 或写成 14 受迫振动情况 力密度F x t 单位长度的弦所受的横向外力 15 单位质量的弦所受的横向外力 16 二 热传导方程 热传导 由于温度不均匀 热量从温度高向温度低的地方转移 热流通量 单位时间内通过单位横截面积的热量 实验结果 哈密顿算符 k 导热系数 17 为系统 x y z 点在t时的温度 单位时间沿x方向流入小六面体的热量 单位时间沿x方向流出小六面体的热量 单位时间沿x方向净流入小六面体的热量 18 同理 单位时间内沿y z方向净流入小六面体的热量分别是 单位时间内沿x y z方向净流入小六面体的总热量分别是 19 单位时间内小六面体热量的增加是 在各向同性条件下 20 温度传导系数 或写成 热传导方程 一维空间 二维空间 21 讨论 1 有热源存在情况下 热源强度F x y z t 单位时间单位体积热源放出的热量 f 0称为热源 f 0称为热汇 22 2 稳定的温度分布 泊松方程 拉普拉斯方程 f 0 23 2 4数理方程的定解条件 一 初始条件 初始条件 给出某一初始时刻整个系统的已知条件 1 传递过程 扩散 热传导 热传导 扩散 问题只须给出整个系统的初始温度 浓度 分布 而振动问题必须给出整个系统的初始位移何初始速度 2 振动过程 弦 杆的振动 从数学上来看 振动方程中u对时间求二次导数 而传递问题中u或N只对时间一次导数 24 二 边界条件 边界条件 给出系统的边界在各个时刻的已知状态 1 第一类边界条件 给出边界上u的值 1 弦的横振动 两端固定 x 0端位移状态已知 2 杆的热传导 两端处于恒温uo 两端的温度变化已知 总之 这类边界条件直接规定了边界上的数值 可以是随时间变化的数值 25 2 第二类边界条件 给出边界上u的梯度值 1 杆的纵振动 两端自由 2 杆的热传导 两端绝热 x 0 单位时间内流出小薄层的热量为 26 合并写成 杆的热传导 两端有热流强度为f t 的热流流出 在x 0端 27 在x l端 合并写成 3 第三类边界条件 在这类边界条件 即不直接规定边界上的数值 也不直接规定边界上法向导数的数值 而是规定它们之间的某个线性关系 28 杆的热传导 两端按牛顿冷却定律与外界进行热交换 牛顿冷却定律 单位时间内通过单位横截面积与外界热交换流出的热量为 H 牛顿冷却系数 u 系统边界的温度 外界的温度 在x 0端 将热流强度f t 写成牛顿冷却定律 29 在x l端 合并写成 齐次的边界条件 给出的上述的值为零 则称为是齐次的边条件 即f t 0 30 31 32 数学物理定解问题的适定性 1 解的存在性 看所归结出来的定解问题是否有解 2 解的唯一性 看是否只有一个解 3 解的稳定性 当定解问题的自由项或定解条件有微小变化时 解是否相应地只有微小的变化量 定解问题解的存在性 唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性 33 34