资源描述
2.2.1双曲线及其标准方程【选题明细表】知识点、方法题号双曲线的定义1,2,11双曲线的标准方程3,4,5与双曲线定义有关的轨迹问题6,8综合问题7,9,10,12,13【基础巩固】1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹是(C)(A)双曲线(B)双曲线左支(C)一条射线(D)双曲线右支解析:因为|PM|-|PN|=4=|MN|,所以动点P的轨迹是一条射线.故选C.2.双曲线-=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为(A)(A)22或2(B)7(C)22 (D)2解析:因为a2=25,所以a=5.由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=10,由题意知|PF1|=12,所以|PF1|-|PF2|=10,所以|PF2|=22或2.故选A.3.(2018洛阳高二月考)已知方程-=1表示双曲线,则k的取值范围是(A)(A)(-1,1)(B)(0,+)(C)0,+)(D)(-,-1)(1,+)解析:由题意得(1+k)(1-k)0,所以(k-1)(k+1)0,所以-1k1.故选A.4.设动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6,则P点的轨迹方程是(D)(A)-=1 (B)-=1(C)-=1(x-3)(D)-=1(x3)解析:由题意知,动点P的轨迹应为以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.由c=5,a=3,知b2=16,所以P点的轨迹方程为-=1(x3).故选D.5.(2018大连双基检测)双曲线-=1的焦距是(C)(A)4(B)2 (C)8(D)与m有关解析:因为a2=m2+12,b2=4-m2,c2=a2+b2=16,所以c=4,所以焦距2c=8.故选C.6.(2017龙泉驿区高二月考)一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是(C)(A)-=1(x2)(B)-=1(x2)(C)-=1 (D)-=1解析:由题知|PN|-|PM|=4,2a=4,2c=8,所以b=2,所以动圆圆心P的轨迹方程为-=1,故选C.7.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,F1PF2=60,则|PF1|PF2|等于.解析:在PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,即(2)2=22+|PF1|PF2|,解得|PF1|PF2|=4.答案:48.已知椭圆x2+2y2=32的左、右两个焦点分别为F1,F2,动点P满足|PF1|-|PF2|=4.求动点P的轨迹E的方程.解:由椭圆的方程可化为+=1得|F1F2|=2c=2=8,|PF1|-|PF2|=49,所以点P只能在双曲线的左支上.答案:|PF2|=1712.设有双曲线-=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.(1)若F1MF2=90,求F1MF2的面积;(2)若F1MF2=120,F1MF2的面积是多少?若F1MF2=60,F1MF2的面积又是多少?(3)观察以上计算结果,你能看出随F1MF2的变化,F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论.解:设|MF1|=r1,|MF2|=r2(不妨设r1r2),=F1MF2,因为=r1r2sin =r1r2,所以只要求r1r2即可,因此考虑到双曲线定义及余弦定理可求出r1r2.(1)由双曲线方程知a=2,b=3,c=,由双曲线定义,有|r1-r2|=2a=4,两边平方得+-2r1r2=16,又+=|F1F2|2,即|F1F2|2-4=16,也即52-16=4,求得=9.(2)若F1MF2=120,在MF1F2中,由余弦定理得,|F1F2|2=+-2r1r2cos 120=(r1-r2)2+3r1r2=52,所以r1r2=12,求得=r1r2sin 120=3.同理可求得若F1MF2=60,=9.(3)由以上结果可见,随着F1MF2的增大,F1MF2的面积将减小.证明如下:=r1r2sin .由双曲线定义及余弦定理,有-得r1r2=,所以=b2cot.因为0,所以0,在（0,）内,cot是减函数.因此当增大时,=b2cot减小.【探究创新】13.当0180时,方程x2cos +y2sin =1表示的曲线如何变化?解:(1)当=0时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=1.(2)当090时,方程为+=1.当045时,0,它表示焦点在y轴上的椭圆.当=45时,它表示圆x2+y2=.当450,它表示焦点在x轴上的椭圆.(3)当=90时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=1.(4)当90180时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.(5)当=180时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.
展开阅读全文