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3.3.2函数的极值与导数学习目标：1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系(难点)2.掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值(重点)3.会根据函数的极值求参数的值(难点)自 主 预 习探 新 知1极小值点与极小值若函数f(x)满足：(1)在xa附近其他点的函数值f(x)f(a)；(2)f(a)0；(3)在xa附近的左侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值2极大值点与极大值若函数f(x)满足： (1)在xb附近其他点的函数值f(x)f(b)；(2)f(b)0；(3)在xb附近的左侧f(x)0，在xb附近的右侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值基础自测1思考辨析(1)导数值为0的点一定是函数的极值点()(2)函数的极大值一定大于极小值()(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合()(4)函数f(x)有极值()答案(1)(2)(3)(4)2函数yx31的极大值是()A1B0C2D不存在Dy3x20，则函数yx31在R上是增函数，不存在极大值3若x2与x4是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点则有() 【导学号：97792153】Aa2，b4 Ba3，b24Ca1，b3 Da2，b4Bf(x)3x22axb，依题意有x2和x4是方程3x22axb0的两个根，所以有24，24，解得a3，b24.合 作 探 究攻 重 难求函数的极值(1)已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数f(x)的图象如图338所示，则函数f(x)的极小值是()图338AabcB3a4bcC3a2b Dc(2)求下列函数的极值：f(x)x3x23x3；f(x)2.解析(1)由f(x)的图象知，当x0时，f(x)0，当0x0，当x2时，f(x)0，解得a1.所以a的取值范围为(，1)函数极值的综合应用探究问题1如何画三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的大致图象？提示：求出函数的极值点和极值，根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象2三次函数f(x)ax3bx2c(a0)的图象和x轴一定有三个交点吗？提示：不一定，三次函数的图象和x轴交点的个数和函数极值的大小有关，可能有一个也可能有两个或三个已知a为实数，函数f(x)x33xa(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)(2)当a为何值时，方程f(x)0恰好有两个实数根思路探究(1)求出函数f(x)的极值点和极值，结合函数在各个区间上的单调性画出函数的图象(2)当极大值或极小值恰好有一个为0时，方程f(x)0恰好有两个实数根解(1)由f(x)x33xa，得f(x)3x23, 令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以函数f(x)的极小值为f(1)a2；极大值为f(1)a2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，(2)结合图象，当极大值a20时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰有两个实数根，所以a2满足条件；当极小值a20时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a2满足条件综上，当a2时，方程恰有两个实数根母题探究：1.本例中条件不变，试求当a为何值时，方程f(x)0有三个不等实根解由例题解析知，当即2a或x0；当x时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，)当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示所以，当54a54时，直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)a有三个不同的实根规律方法利用导数研究方程根的个数利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便当 堂 达 标固 双 基1下列四个函数中，能在x0处取得极值的是()yx3；yx21；ycos x1；y2x.ABC DB为单调函数，不存在极值2函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图339所示，则函数f(x)()图339A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点C当f(x)的符号由正变负时，f(x)有极大值，当f(x)的符号由负变正时，f(x)有极小值由函数图象易知，函数有两个极大值点，两个极小值点3函数y348xx3的极小值是_；极大值是_131125y3x2483(x4)(x4)，当x(，4)(4，)时，y0，x4时，y取到极小值131，x4时，y取到极大值125.4已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_(，1)(2，)f(x)3x26ax3(a2)，函数f(x)既有极大值又有极小值，方程f(x)0有两个不相等的实根36a236(a2)0.即a2a20，解之得a2或a1.5已知函数f(x)ax2bln x在x1处有极值.(1)求a，b的值(2)判断函数f(x)的单调区间，并求极值. 【导学号：97792155】解(1)因为f(x)ax2bln x，所以f(x)2ax.又函数f(x)在x1处有极值.故即解得a，b1.(2)由(1)可知f(x)x2ln x.其定义域为(0，)且f(x)x.令f(x)0，则x1(舍去)或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)，且函数在定义域上只有极小值f(1)，无极大值
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