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第19讲概率与统计1.2017全国卷 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116i=116xi=9.97,s=116i=116(xi-x)2=116i=116xi2-16x20.212,i=116(i-8.5)218.439,i=116(xi-x)(i-8.5)=-2.78,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,16.(1)求(xi,i)(i=1,2,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).(2)一天内抽检的零件中,如果出现了尺寸在(x-3s,x+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?(ii)在(x-3s,x+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)附:样本(xi,yi)(i=1,2,n)的相关系数r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2,0.0080.09.试做 命题角度变量间的相关关系(1)判断相关关系的两种方法:方法一,散点图法:如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近,变量之间就有相关关系,如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.方法二,相关系数法:利用相关系数判定,|r|越趋近于1,相关性越强.(2)解决非线性回归问题的方法及步骤:确定变量:确定解释变量为x,预报变量为y;画散点图:通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数,二次函数)的图像作比较,选取拟合效果好的函数模型;变量置换:通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题;分析拟合效果:通过计算相关指数等来判断拟合效果;写出非线性回归方程.2.2017全国卷 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:图M6-19-1(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.附:P(K2k)k0.0500.0100.0013.8416.63510.828,K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).试做 命题角度独立性检验问题独立性检验就是判断两个分类变量是否有关系,并能较为准确地给出这种判断的可信度.具体做法是根据公式K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)计算随机变量的观测值k,k值越大,说明“两个变量有关系”的可能性越大.解答1概率与样本估计总体的交汇问题1 在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标x和y,制成图M6-19-2,其中“”表示甲村贫困户,“+”表示乙村贫困户.若0x0.6,则认定该户为“绝对贫困户”;若0.6x0.8,则认定该户为“相对贫困户”;若0.8x1,则认定该户为“低收入户”.若y100,则认定该户为“今年能脱贫户”,否则为“今年不能脱贫户”.(1)从乙村的50户贫困户中随机选出1户,求该户为“绝对贫困户”的概率;(2)从甲村所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中任选2户,求选出的2户均为“低收入户”的概率;(3)试比较这100户中,甲、乙两村贫困指标y的方差的大小(只需写出结论).图M6-19-2听课笔记 【考场点拨】高考中解决概率与样本估计总体的交汇问题时,常用的一般思路为:(1)识图,即能从已知频率分布直方图或茎叶图中找到隐含的信息并进行信息提取;(2)转化,即对题设中文字语言所包含的信息进行深入分析,步步实现文字语言与符号语言的转化;(3)计算,即对频率分布直方图或茎叶图所反馈的信息进行提取分析,并结合概率的公式进行运算.【自我检测】为响应绿色出行,某市在推出共享单车后,又推出新能源租赁汽车,新能源租赁汽车每次租车收费的标准由两部分组成:里程计费:1元/公里;时间计费:0.12元/分钟.已知陈先生的家距离公司12公里,陈先生每天上、下班租用该款汽车各一次.记陈先生一次路上开车所用的时间为t(单位:分钟),现统计了他50次路上开车所用的时间,在各时间段内频数分布情况如下表所示:时间t(分钟)20,30)30,40)40,50)50,60)频数122882将各时间段内的频率视为概率,一次路上开车所用的时间视为用车时间,范围为20,60).(1)估计陈先生租用一次新能源租赁汽车的用车时间不低于30分钟的概率;(2)若公司每月发放800元的交通补助费用,请估计这些交通补助费用是否足够让陈先生一个月(按22天计算)上、下班都租用新能源租赁汽车,并说明理由.(同一时段,用该区间的中点值作代表)解答2回归分析与统计的交汇问题2 有一名同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对某种饮料销量的影响,记录了2017年7月至12月每月15号下午14时的气温和当天的饮料售出瓶数,得到下表:日期7月15日8月15日9月15日10月15日11月15日12月15日温度x()36353024188饮料售出瓶数y27292418155该同学确定的研究方案是:现从这6组数据中选取2组,用剩下的4组数据确定线性回归方程,再用被选中的2组数据进行检验.(1)求选中的2组数据恰好是相邻两个月的数据的概率. (2)若选中的是8月与12月的两组数据,根据剩下的4组数据,求出y关于x的线性回归方程=x+.(3)若由线性回归方程得到的估计数据与检验数据的误差不超过3,则认为得到的线性回归方程是理想的,请问(2)中得到的线性回归方程是否理想?附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其回归直线=x+的斜率和截距利用最小二乘法估计分别为=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,=y-x.听课笔记 【考场点拨】高考中回归分析的解题策略:(1)若两个变量呈线性相关关系,可直接通过计算公式求回归方程;(2)若两个变量呈非线性相关关系,解题时可利用化归思想,通过恰当的变换,将其转化为线性关系,再求回归方程;(3)利用回归方程可以进行预测与估计,但要注意回归方程表示的是两组数据之间的相关关系,并不是函数关系,所以利用该方程求出的值是估计值,而不是一个准确的值.【自我检测】为推广支付宝的使用,支付宝推出了扫码领红包的活动.某商家统计前5名顾客扫码所得红包的金额分别为5.5元、2.1元、3.3元、5.9元、4.7元,商家从这5名顾客中随机抽取3人赠送台历.(1)求获得台历的3人中至少有1人所得的红包超过5元的概率;(2)统计一周内每天使用支付宝付款的人数x与商家每天的净利润y(单位:元),得到7组数据,如下表所示,并作出了散点图,如图M6-19-3所示.x12162629252230y60100150270240210330(i)直接根据散点图判断,与哪一个更适合作为每天的净利润y与使用支付宝付款的人数x的回归方程.(的值取整数)(ii)根据(i)的判断,求出y关于x的回归方程,并估计使用支付宝付款的人数增加到35时,商家当天的净利润.参考数据:xyi=17(xi-x)2i=17(xi-x)(yi-y)22.86194.29268.863484.29附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其回归直线=x+的斜率和截距利用最小二乘法估计分别为=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,=y-x.图M6-19-3解答3独立性检验与概率、统计的交汇问题32018全国卷 某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:图M6-19-4(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由.(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828听课笔记 【考场点拨】解决独立性检验应用交汇问题的步骤: (1)读懂22 列联表,明确表中的数据;(2)计算K2的观测值:根据列联表中提供的数据结合计算公式算出K2 的观测值;(3)做出判断:根据临界值表和犯错误的概率(可能性)做出判断.【自我检测】党的十九大报告指出,要推进绿色发展,倡导“简约适度,绿色低碳”的生活方式,开展“低碳生活,绿色出行”等活动.在这一号召下,越来越多的人秉承“能走不骑,能骑不坐,能坐不开”的出行理念,尽可能采取乘坐公交车、骑自行车或步行等方式出行,以减少交通拥堵,共建清洁、畅通、高效的城市生活环境.某市环保机构随机抽查统计了该市部分成年市民某月的骑车次数,得到如下统计表:次数人数年龄0,10)10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)18岁至31岁812206014015032岁至44岁1228201406015045岁至59岁25508010022545060岁及以上2510101942联合国世界卫生组织确定的新的年龄分段:44岁及以下为青年人,45岁至59岁为中年人,60岁及以上为老年人.(1)若从被抽查的该月骑车次数在40,60)之间的老年人中随机选出两名幸运者给予奖励,求其中一名幸运者该月骑车次数在40,50)之间,另一名幸运者该月骑车次数在50,60)之间的概率.(2)用样本估计总体的思想解决如下问题:(i)估计该市在32岁至44岁年龄段的一个青年人每月骑车的平均次数.(保留整数)(ii)若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”,根据这些数据,能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关?参考数据:P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).第19讲概率与统计 典型真题研析1.解:(1)由样本数据得(xi,i)(i=1,2,16)的相关系数r=i=116(xi-x)(i-8.5)i=116(xi-x)2i=116(i-8.5)2=-2.780.2121618.439-0.18.由于|r|0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)(i)由于x=9.97,s0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x-3s,x+3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.(ii)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为115(169.97-9.22)=10.02,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.i=116xi2=160.2122+169.9721591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为115(1591.134-9.222-1510.022)0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.0080.09.2.解:(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62.因此,事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表:箱产量6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)箱产量的频率分布直方图表明:新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg到55kg之间,旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45kg到50kg 之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法. 考点考法探究解答1例1解:(1)由图知,在乙村的50户贫困户中,指标x满足0x0.6的有15户, 所以,从乙村的50户贫困户中随机选出1户,该户为“绝对贫困户”的概率P1=1550=310. (2)甲村“今年不能脱贫的非绝对贫困户”共有6户,其中“相对贫困户”有3户,分别记为A1,A2,A3,“低收入户”有3户,分别记为B1,B2,B3,从这6户中任选2户,所有可能的结果组成的基本事件为:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共15个,其中选出的2户均为“低收入户”的基本事件共有3个,所以选出的2户均为“低收入户”的概率P2=315=15.(3)由图可知,这100户中甲村贫困指标y的方差大于乙村贫困指标y的方差.【自我检测】解:(1)设“陈先生租用一次新能源租赁汽车的用车时间不低于30分钟”为事件A,则P(A)=1-P(A)=1-1250=1925,所以陈先生租用一次新能源租赁汽车的用车时间不低于30分钟的概率为1925.(2)陈先生每次开车所用的平均时间为251250+352850+45850+55250=35(分钟),每次租用新能源租赁汽车的平均费用为112+0.1235=16.2(元),每个月上、下班的租车费用为16.2222=712.8(元),712.8800,因此交通补助费用足够让陈先生上、下班都租用新能源租赁汽车.解答2例2解:(1)从这6组数据中选取2组,共有15种等可能情况,分别为(7,8),(7,9),(7,10),(7,11),(7,12),(8,9),(8,10),(8,11),(8,12),(9,10),(9,11),(9,12),(10,11),(10,12),(11,12),其中选取的2组数据恰好是相邻两个月的数据的情况有5种,分别为(7,8),(8,9),(9,10),(10,11),(11,12),故选取的2组数据恰好是相邻两个月的数据的概率为515=13.(2)由题意得x=36+30+24+184=27,y=27+24+18+154=21,=3627+3024+2418+1815-42721362+302+242+182-4272=0.7,=y-x=21-0.727=2.1.y关于x的线性回归方程为=0.7x+2.1.(3)当x=35时,=0.735+2.1=26.6,|29-26.6|3;当x=8时,=0.78+2.1=7.7,|7.7-5|6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.【自我检测】解:(1)被抽查的该月骑车次数在40,60)之间的老年人有6人,骑车次数在40,50)之间的有4人,记为a,b,c,d,骑车次数在50,60)之间的有2人,记为A,B.从6位老年人中任选两名幸运者的选法有(a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),(A,B),共15种,其中满足条件的选法有(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),共8种,故所求概率P=815.(2)(i)估计该市在32岁至44岁年龄段的一个青年人每月骑车的平均次数为125+2815+2025+14035+6045+1505512+28+20+140+60+150=16 83041041.(ii)根据题意,得出如下22列联表:骑行爱好者非骑行爱好者总计青年人700100800非青年人8002001000总计15003001800K2的观测值k=1800(700200-100800)280010001500300=1810.828,所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关.备选理由 备用例1是统计的综合交汇问题,是对信息题型的补充;备用例2是独立性检验与概率、统计的交汇问题.例1配例2使用2018年3月5日上午,李克强总理做政府工作报告时表示,将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年,自2018年1月1日至2020年12月31日,对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车,他从当地该品牌销售网站了解到近五个月该品牌新能源汽车的实际销量,如下表:月份2017.122018.012018.022018.032018.04月份编号12345销量(万辆)0.50.611.41.7(1)经分析发现,可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y(万辆)与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程=t+,并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量;(2)2018年6月12日,中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程(新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程)对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大,某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查,得到下表:补贴金额预期值(万元)1,2)2,3)3,4)4,5)5,6)6,7频数206060302010(i)求这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值X的样本方差s2及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代表;估计值精确到0.1);(ii)将对补贴金额的心理预期值在1,2)(万元)和6,7(万元)的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者,现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6人,再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查,求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.参考公式及数据:回归方程=t+,其中=i=1ntiyi-ntyi=1nti2-nt2,=y-t;i=15tiyi=18.8.解:(1)易知t=1+2+3+4+55=3,y=0.5+0.6+1+1.4+1.75=1.04,i=15ti2=12+22+32+42+52=55,=i=15tiyi-5tyi=15ti2-5t2=18.8-531.0455-532=0.32,=y-t=1.04-0.323=0.08,则y关于t的线性回归方程为=0.32t+0.08,当t=6时,=2.00,即2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆.(2)(i)根据题意,这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值X的平均值为1.50.1+2.50.3+3.50.3+4.50.15+5.50.1+6.50.05=3.5,s2=(1.5-3.5)20.1+(2.5-3.5)20.3+(3.5-3.5)20.3+(4.5-3.5)20.15+(5.5-3.5)20.1+(6.5-3.5)20.05=1.7,中位数的估计值为3+1100-20-6060=3+133.3.(ii)设从“欲望膨胀型”消费者中抽取m人,从“欲望紧缩型”消费者中抽取n人,由分层抽样的定义可知630=m10=n20,解得m=2,n=4.在抽取的6人中,2名“欲望膨胀型”消费者分别记为A1,A2,4名“欲望紧缩型”消费者分别记为B1,B2,B3,B4,从中抽取3人,则所有的抽样情况如下:A1,A2,B1,A1,A2,B2,A1,A2,B3,A1,A2,B4,A1,B1,B2,A1,B1,B3,A1,B1,B4,A1,B2,B3,A1,B2,B4,A1,B3,B4,A2,B1,B2,A2,B1,B3,A2,B1,B4,A2,B2,B3,A2,B2,B4,A2,B3,B4,B1,B2,B3,B1,B2,B4,B1,B3,B4,B2,B3,B4,共20种.其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况有16种,记事件A为“抽出的3人中至少有1名欲望膨胀型消费者”,则P(A)=1620=0.8.例2配例3使用 高中生在被问及“家、朋友聚集的地方、个人空间这三个场所中感到最幸福的场所是哪里”这个问题时,不同的人有不同的答案.某机构从洛阳的高中生中随机抽取了55人,从上海的高中生中随机抽取了45人,询问该问题.洛阳的高中生中选择家的占25,选择朋友聚集的地方的占310,选择个人空间的占310.上海的高中生中选择家的占15,选择朋友聚集的地方的占35,选择个人空间的占15.记在家中感到最幸福为恋家,在其他场所感到最幸福为不恋家.(1)请根据以上调查结果将下面22列联表补充完整,并判断能否有95%的把握认为是否恋家与城市有关;恋家不恋家总计洛阳高中生上海高中生总计(2) 从被调查的不恋家的上海学生中,用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查,从被选出的4 人中随机抽取2人到洛阳交流学习,求这2人中含有在个人空间感到最幸福的学生的概率.附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(K2k0)0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.828解:(1)由已知得列联表如下:恋家不恋家总计洛阳高中生223355上海高中生93645总计3169100K2=100(2236-933)2316955454.6283.841,有95%的把握认为是否恋家与城市有关.(2)在被调查的不恋家的上海学生中,用分层抽样的方法选出4 人,其中在朋友聚集的地方感到最幸福的有3人,分别设为a1,a2,a3;在个人空间感到最幸福的有1人,设为b.从被选出的4人中随机抽取2人,所有可能的情况为(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a3),(a2,b),(a3,b),共6种.其中含有在个人空间感到最幸福的学生的情况为(a1,b),(a2,b),(a3,b),共3种,则所求的概率为P(A)=36=12.
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