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计数原理一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 9（正确答案）B解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22=6种走法同理从F到G，最短的走法，有C31C22=3种走法小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为63=18种走法故选：B从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有C31=3种走法，利用乘法原理可得结论本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题2. 某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为( )A. 1080 B. 480 C. 1560 D. 300（正确答案）C解：先把6名技术人员分成4组，每组至少一人若4个组的人数按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有C63=20种不同的方法若4个组的人数为2、2、1、1，则不同的分配方案有C62C422!C212!=45种不同的方法故所有的分组方法共有20+45=65种再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有65A44=1560种，故选：C先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，再把这4个组的人分给4个分厂，利用乘法原理，即可得出结论本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确分组是关键3. 如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )A. 84 B. 72 C. 64 D. 56（正确答案）A解：分两种情况：(1)A、C不同色(注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色)：有4322=48种；(2)A、C同色(注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色)：有4313=36种共有84种，故选：A 每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色；A、C同色两大类本题考查了区域涂色、种植花草作物是一类题目.分类要全要细4. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A. 8 B. 24 C. 48 D. 120（正确答案）C解：由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有A21=2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43=432=24种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有224=48(个)故选C本题需要分步计数，首先选择2和4排在末位时，共有A21种结果，再从余下的其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43种结果，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数本题考查分步计数原理，是一个数字问题，这种问题是最典型的排列组合问题，经常出现限制条件，并且限制条件变化多样，是一个易错题5. 6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A. 144 B. 120 C. 72 D. 24（正确答案）D解：使用“插空法“.第一步，三个人先坐成一排，有A33种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有C41种办法.根据分步计数原理，64=24故选：D使用“插空法“.第一步，三个人先坐成一排，有A33种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有C41种办法.根据分步计数原理可得结论本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键6. 将4个红球与2个蓝球(这些球只有颜色不同，其他完全相同)放入一个33的格子状木柜里(如图所示)，每个格至多放一个球，则“所有红球均不位于相邻格子”的放法共有( )种7. A. 30 B. 36 C. 60 D. 72（正确答案）C解：第一类，当4个红球在4个顶角的位置时，蓝球放在剩下5个格种任选两个，故有C52=10种，如图第二类，当有一个红球再最中间时，其它三个红球只能放在顶角位置，有出C43=4种，蓝球放在剩下5个格种任选两个，C43C52=40种，如图第三类，当4个红球放在每外围三个格的中间时，蓝球在剩下5个格种任选两个有C52=10种，如图根据分类计数原理，故有10+40+10=60故选：C对红球的位置分类讨论：第一类，当4个红球在4个顶角的位置时，蓝球放在剩下5个格种任选两个；第二类，当有一个红球再最中间时，其它三个红球只能放在顶角位置，蓝球放在剩下5个格种任选两个；第三类，当4个红球放在每外围三个格的中间时，蓝球放在剩下5个格种任选两个，即可得出本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分类，属于中档题8. 4名学生参加3项不同的竞赛，每名学生必须参加其中的一项竞赛，有( )种不同的结果A. 34 B. A43 C. C43 D. 43（正确答案）A解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先第一名学生从三种不同的竞赛中选有三种不同的结果，第二名学生从三种不同的竞赛中选有3种结果，同理第三个和第四个同学从三种竞赛中选都有3种结果，根据分步计数原理得到共有3333=34 故选A本题是一个分步计数问题，首先第一名学生从三种不同的竞赛中选有三种不同的结果，第二名学生从三种不同的竞赛中选有3种结果，同理第三个和第四个同学从三种竞赛中选都有3种结果，相乘得到结果数解答此题，先考虑学生问题还是竞赛问题才能很好地完成这件事，易把两问结果混淆；另外，每位学生选定竞赛或每项竞赛选定学生这一做法对完成整个事件的影响理解错误导致原理弄错，其原因是对题意理解不清，对事情完成的方式有错误的认识9. 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )A. 504 B. 210 C. 336 D. 120（正确答案）A解：由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，三个新节目一个一个插入节目单中，原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果，原来的6个和刚插入的一个，形成8个空，有8种结果，同理最后一个节目有9种结果根据分步计数原理得到共有插法种数为789=504，故选A由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，三个新节目一个一个插入节目单中，原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果；用同样的方法插入第二个和第三个节目，根据分步乘法计数原理得到结果本题考查分步计数原理，是一个实际问题，解题时注意题目条件中对于原来6个节目的顺序要求不变，所以采用插入法10. 从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加A，B两科竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A. 24 B. 48 C. 72 D. 120（正确答案）C解：从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加A，B两科竞赛，可分为以下几步：(1)先从5人中选出4人，分为两种情况：有甲参加和无甲参加有甲参加时，选法有：C43=4种；无甲参加时，选法有：C44=1种. (2)安排科目有甲参加时，先排甲，再排其它人.排法有：A21A33=12种. 无甲参加时，排法有A44=24种. 综上，412+124=72不同的参赛方案种数为72故答案为：72本题可以先从5人中选出4人，分为有甲参加和无甲参加两种情况，再将甲安排参加C、D科目，然后安排其它学生，通过乘法原理，得到本题的结论本题是一道排列组合题，要考虑特殊元素，本题还考查了分类讨论的数学思想，本题有一定难度，属于中档题11. 考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有( )A. 10种 B. 60种 C. 125种 D. 243种（正确答案）B解：从中选3个并分配到3个志愿中，故有A53=60种，故选：B从中选3个并分配到3个志愿中，问题得以解决本题考查了简单的排列组合问题，关键是分清是排列还是组合，属于基础题12. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A. 72 B. 120 C. 144 D. 168（正确答案）B解：分2步进行分析：1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是642=48种；将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是626=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120种故选：B根据题意，分2步进行分析：先将3个歌舞类节目全排列，因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便13. 某公司庆祝活动需从甲、乙、丙等5名志愿者中选2名担任翻译，2名担任向导，还有1名机动人员，为来参加活动的外事人员提供服务，并且翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，则不同的选法有( )A. 20 B. 22 C. 24 D. 36（正确答案）D解：翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，有A32=6种方法，其余3人全排，有A33=6种方法，根据乘法原理，有66=36种方法，故选D翻译和向导先个安排1人，其余3人全排，即可得出结论本题考查计数原理运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论，对于有限制条件的元素要首先安排二、填空题（本大题共4小题，共20分）14. 用1，2，3三个数字组成一个五位数，要求相邻的位置的数字不能相同，则不同的五位数共有_ 种(以数字作答)（正确答案）42解：第一类：其中一个数字用3次，另外两个数字用1次，把3个相同的数字排除一排，再将另外两个数字插入到所形成的2个空中(不包含两端)共有A22C31=6种，第二类，其中一个数字用1次，另外两个数字用2次，若把相同的两个数字互相间隔，(例如2323)，再把另一个数字插入前4个数字所形成的5个空中的任意一个空，有C31A22A51=30种，若若把相同的两个数字有只有一组相邻，(例如2332)，把另一个数字插入前相邻的数字中间，有C31A22=6种，根据分类计数原理，共有6+30+6=42种，故答案为：42根据重复数字的个数，分两类，第一类：其中一个数字用3次，另外两个数字用1次，第二类，其中一个数字用1次，另外两个数字用2次，根据分类计数原理可得本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题15. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中能被3整除的四位数有_个.（正确答案）96解：各位数字之和是3的倍数能被3整除，符合题意的有：一类：含0、3则需1、4 和2、5各取1个，可组成C21C21C31A33；二类：含0或3中一个均不适合题意；三类：不含0，3，由1、2、4、5可组成A44个，共有C21C21C31A33+A44=96个故答案为：96各位数字之和是3的倍数能被3整除，符合题意的有：一类：含0、3则需1、4 和2、5各取1个，可组成C21C21C31A33；二类：含0或3中一个均不适合题意；三类：不含0，3，由1、2、4、5可组成A44个，相加得到结果本题考查排列组合的实际应用，本题是一个数字问题，解题的关键是注意0不能在首位，注意分类和分步的应用16. 学校安排4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天要相连，那么不同的安排方法种数是_(用数字作答)（正确答案）144解：由题意知本题是一个简单计数问题，排四名老师时：有12，34，5，6和12，3，45，6和12，3，4，56和1，23，45，6和1，23，4，56和1，2，34，56，共6种情形根据分步计数原理知四名时有6(4321)=144，故答案为：144本题是一个简单计数问题，分为排三名老师时和排四名老师时两大类结果，分别列举出这两种情况的结果，用分步计数表示出结果数，再用分类加法得到结果本题考查计数问题，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类17. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有_种不同的志愿者分配方案.(用数字作答)（正确答案）21解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参见A项目，B项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C项目，A，B项目，有A32=6种方法，若甲参加，乙不参加，则乙只能参加A项目，B，C项目，有A32=6种方法，若甲不参加，乙不参加，有A33=6种方法，根据分类计数原理，共有3+6+6+6=21种由题意可以分为四类，根据分类计数原理可得本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题三、解答题（本大题共3小题，共40分）18. 设nN*，对1，2，n的一个排列i1i2in，如果当sit，则称(is,it)是排列i1i2in的一个逆序，排列i1i2in的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1，2，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数(1)求f3(2)，f4(2)的值；(2)求fn(2)(n5)的表达式(用n表示)（正确答案）解：(1)记(abc)为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0，(132)=1，(231)=2，(321)=3，f3(0)=1，f3(1)=f3(2)=2，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5；(2)对一般的n(n4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n，fn(0)=1逆序数为1的排列只能是将排列12n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，fn(1)=n-1为计算fn+1(2)，当1，2，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n当n5时，fn(2)=fn(2)-fn-1(2)+fn-1(2)-fn-2(2)+f5(2)-f4(2)+f4(2)=(n-1)+(n-2)+4+f4(2)=n2-n-22因此，当n5时，fn(2)=n2-n-22(1)由题意直接求得f3(2)的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得f4(2)的值；(2)对一般的n(n4)的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为1的排列只能是将排列12n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，fn(1)=n-1为计算fn+1(2)，当1，2，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n，则当n5时，fn(2)=fn(2)-fn-1(2)+fn-1(2)-fn-2(2)+f5(2)-f4(2)+f4(2)，则fn(2)(n5)的表达式可求本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题19. 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员（正确答案）解：(1)由题意知本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，有C63种选法再选2名女运动员，有C42种选法共有C63C42=120种选法(2)法一(直接法)：“至少1名女运动员”包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男由分类加法计数原理可得有C41C64+C42C63+C43C62+C44C61=246种选法法二(间接法)：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”从10人中任选5人，有C105种选法，其中全是男运动员的选法有C65种.所以“至少有1名女运动员”的选法有C105-C65=246种(3)法一(直接法)：“只有男队长”的选法为C84种；“只有女队长”的选法为C84种；“男、女队长都入选”的选法为C83种；共有2C84+C83=196种法二(间接法)：“至少要有一名队长”的反面是“一个队长都没有”从10人中任选5人，有C105种选法，其中一个队长都没有有C85种选法“至少1名队长”的选法有C105-C85=196种选法(4)当有女队长时，其他人选法任意，共有C94种选法不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法其中不含女运动员的选法有C54种，不选女队长时共有C84-C54种选法既有队长又有女运动员的选法共有C94+C84-C54=191种(1)本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，有C63种选法.再选2名女运动员，有C42种选法.利用乘法原理得到结果(2)至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.分别写出这几种结果，利用分类加法原理得到结果.本题也可以从事件的对立面来考虑，写出所有的结果减去都是男运动员的结果数(3)只有男队长的选法为C84种，只有女队长的选法为C84种，男、女队长都入选的选法为C83种，把所有的结果数相加(4)当有女队长时，其他人选法任意，共有C94种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法.其中不含女运动员的选法有C54种，得到结果本题考查分步计数原理，考查分类计数原理，在比较复杂的题目中，会同时出现分类和分步，本题是一个比较综合的题目20. (1)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？(2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花求恰有两个区域用红色鲜花的概率；记花圃中红色鲜花区域的块数为S，求它的分布列及其数学期望E(S)（正确答案）解：(1)根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：4322=48种(2)设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图二，当区域A、D同色时，共有54313=180种；当区域A、D不同色时，共有54322=240种；因此，所有基本事件总数为：180+240=420种.(由于只有A、D，B、E可能同色，故可按选用3色、4色、5色分类计算，求出基本事件总数为A53+2A54+A55=420种)它们是等可能的.又因为A、D为红色时，共有433=36种；B、E为红色时，共有433=36种；因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种.所以，P(M)=72420=635 随机变量的分布列为： 012P6352335635所以，E()=0635+12335+2635=1(1)对于图一根据分布计数原理依次摆放鲜花，可直接解得(2)对于图二求恰有两个区域用红色鲜花的概率.设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，把图二5个区域中的4个区域用A、B、D、E分别表示出来，然后分类讨论出当区域A、D同色时和当区域A、D不同色时的总的排列种数.再求出有两个区域同用红色的种数，列出分布列，利用期望的公式求出期望此题主要考查分布乘法计数原理和简单的排列组合问题在实际中的应用，题中涉及到分类讨论思想，在高考中属于常用思想，同学们需要多加注意
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