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椭圆一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )A. 13 B. 12 C. 23 D. 34（正确答案）A解：由题意可设F(-c,0)，A(-a,0)，B(a,0)，令x=-c，代入椭圆方程可得y=b1-c2a2=b2a，可得P(-c,b2a)，设直线AE的方程为y=k(x+a)，令x=-c，可得M(-c,k(a-c)，令x=0，可得E(0,ka)，设OE的中点为H，可得H(0,ka2)，由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，即为ka2-a=k(a-c)-c-a，化简可得a-ca+c=12，即为a=3c，可得e=ca=13故选：A由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k(x+a)，分别令x=-c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题2. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为43，则C的方程为( )A. x23+y22=1 B. x23+y2=1 C. x212+y28=1 D. x212+y24=1（正确答案）A解：AF1B的周长为43，AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，4a=43，a=3，离心率为33，ca=33，c=1，b=a2-c2=2，椭圆C的方程为x23+y22=1故选：A利用AF1B的周长为43，求出a=3，根据离心率为33，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题3. 曲线的方程为 + =2，若直线l:y=kx+1-2k与曲线有公共点，则k的取值范围是 ( )A. B. C. 1,+) D. (1,+)（正确答案）A试题分析：方程 + =2表示的是动点P(x,y)到点A(-1,0)，B(1,0)的距离之和为2，即有P的轨迹为线段AB:y=0(-1x1)，直线l:y=kx+1-2k为恒过定点C(2,1)的直线，kAC= =，kBC= =1，直线l:y=kx+1-2k与曲线有公共点，等价为kACkkBC，即为 k14. 若椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A. 12 B. 33 C. 22 D. 24（正确答案）C解：依题意可知c=2b，而a=b2+c2=2c 椭圆的离心率e=ca=22故选：C先根据题意可知c=b，进而求得a和c的关系，离心率可得本题主要考查了椭圆的简单性质.属基础题5. 已知ABC中，A、B的坐标分别为(0,2)和(0,-2)，若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是( )A. x29+y25=1(y0) B. x25+y29=1(x0)C. x236+y220=1(y0) D. x232+y236=1(x0)（正确答案）B解：|AB|=4，三角形的周长为10，|AC|+|BC|=10-4=6|AB|，根据椭圆的定义知，顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且c=2，a=3，b=9-4=5，故椭圆的方程为y29+x25=1，故选：B根据三角形的周长及|AB|=4，可得|AC|+|BC|=6|AB|，根据椭圆的定义知顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，待定系数法求椭圆的方程本题考查根据椭圆的定义，用待定系数法求椭圆的标准方程的方法，属于基础题6. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1PF2，则椭圆的离心率为( )A. 5-12 B. 3-12 C. 53 D. 32（正确答案）A解：依题意，作图如下A(-a,0)，B(0,b)，F1(-c,0)，F2(c,0)，直线AB的方程为：x-a+yb=1，整理得：bx-ay+ab=0，设直线AB上的点P(x,y)则bx=ay-ab，x=aby-a，PF1PF2，PF1PF2=(-c-x,-y)(c-x,-y)=x2+y2-c2=(aby-a)2+y2-c2，令f(y)=(aby-a)2+y2-c2，则f(y)=2(aby-a)ab+2y，由f(y)=0得：y=a2ba2+b2，于是x=-ab2a2+b2，PF1PF2=(-ab2a2+b2)2+(a2ba2+b2)2-c2=0，整理得：a2b2a2+b2=c2，又b2=a2-c2，e2=c2a2，e4-3e2+1=0，e2=352，又椭圆的离心率e(0,1)，e2=3-52=(5-12)2，椭圆的离心率为e=5-12故选A由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由PF1PF2，得PF1PF2=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于难题7. 过点(3,2)且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为( )A. x25+y210=1 B. x210+y215=1 C. x215+y210=1 D. x225+y210=1（正确答案）C解：椭圆3x2+8y2=24的焦点(5,0)，可得c=5，设椭圆的方程为：x2a2+y2b2=1，可得：9a2+4b2=1，a2-b2=5，解得a=15，b=10，所求的椭圆方程为：x215+y210=1故选：C求出椭圆的焦点坐标，设出方程利用椭圆经过的点，求解即可本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查计算能力8. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作一条直线(不与x轴垂直)与椭圆交于A，B两点，如果ABF1恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为( )A. 1 B. 2 C. 2 D. 3（正确答案）C解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=2m，由椭圆的定义可得ABF1的周长为4a，即有4a=2m+2m，即m=2(2-2)a，|AF1|=2(2-2)a，则|AF2|=2a-m=(22-2)a，在RtAF1F2中，tanAF2F1=丨AF1丨丨AF2丨=2，直线AB的斜率为k=tanAF2F1=2，故选：C假设ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，根据椭圆的定义及性质求得|AF1|=2(2-2)a，|AF2|=2a-m=(22-2)a，则直线AB的斜率为k=tanAF2F1=2本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线斜率与倾斜角的关系，考查计算能力，属于中档题9. 椭圆C：x24+y23=1与双曲线E：x2a2-y2b2=1(a,b0)有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为( )A. 12 B. 22 C. 33 D. 32（正确答案）D解：椭圆C：x24+y23=1的焦点坐标(1,0)，离心率为：12，双曲线E：x2a2-y2b2=1(a,b0)的焦点(1,0)，c=1，双曲线的离心率为2可知a=12，则b=32，双曲线渐近线y=3x的倾斜角的正弦值为：32故选：D求出椭圆的离心率，得到双曲线的离心率，求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，然后求解即可本题考查椭圆的简单性质，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力10. 椭圆4x2+y2=2上的点到直线2x-y-8=0的距离的最小值为( )A. 655 B. 355 C. 3 D. 6（正确答案）A解：椭圆4x2+y2=2，P为椭圆上一点，设P( 22cos，2sin)，02，P到直线2x-y-8=0的距离：d=|2cos-2sin-8|1+22=25|cos(+4)-4|5655，当且仅当cos(+4)=1时取得最小值点P到直线2x-y-8=0的距离的最小值为dmin=655故选：A设P( 22cos，2sin)，0b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为( )A. 22 B. 2-3 C. 5-2 D. 6-3（正确答案）D解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=2m，由椭圆的定义可得ABF1的周长为4a，即有4a=2m+2m，即m=2(2-2)a，则|AF2|=2a-m=(22-2)a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4(2-2)2a2+4(2-1)2a2，c2=(9-62)a2，则e2=c2a2=9-62=9-218，e=6-3故选：D设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=2m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得c2a2，开方得答案本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键，是中档题12. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1PF2，则椭圆的离心率为( )A. 32 B. 3-12 C. 53 D. 5-12（正确答案）D解：依题意，作图如下： 由A(-a,0)，B(0,b)，F1(-c,0)，F2(c,0)，可得直线AB的方程为：x-a+yb=1，整理得：bx-ay+ab=0，设直线AB上的点P(x,y)，则bx=ay-ab，x=aby-a，由PF1PF2，PF1PF2=(-c-x,-y)(c-x,-y)=x2+y2-c2 =(aby-a)2+y2-c2，令f(y)=(aby-a)2+y2-c2，则f(y)=2(aby-a)ab+2y，由f(y)=0得：y=a2ba2+b2，于是x=-ab2a2+b2，PF1PF2=(-ab2a2+b2)2+(a2ba2+b2)2-c2=0，整理得：a2b2a2+b2=c2，又b2=a2-c2，e2=c2a2，e4-3e2+1=0，e2=352，又椭圆的离心率e(0,1)，e2=3-52=(5-12)2，可得e=5-12，故选：D由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由PF1PF2，得PF1PF2=0，运用导数求得极值点，结合椭圆的离心率公式，解方程即可求得答案本题考查椭圆的性质，向量的数量积的坐标表示，考查直线的方程的运用，着重考查椭圆离心率，以及化简整理的运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，直线y=b2与椭圆交于B，C两点，且BFC=90，则该椭圆的离心率是_（正确答案）63【分析】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查化简整理的运算能力，设右焦点F(c,0)，将y=b2代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，结合离心率公式，计算即可得到所求值.方法二、运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，结合离心率公式计算即可得到所求.属于中档题【解答】解：设右焦点F(c,0)，将y=b2代入椭圆方程可得x=a1-b24b2=32a，可得B(-32a,b2)，C(32a,b2)，由BFC=90，可得kBFkCF=-1，即有b2-32a-cb232a-c=-1，化简为b2=3a2-4c2，由b2=a2-c2，即有3c2=2a2，由e=ca，可得e2=c2a2=23，可得e=63，另解：设右焦点F(c,0)，将y=b2代入椭圆方程可得x=a1-b24b2=32a，可得B(-32a,b2)，C(32a,b2)，FB=(-32a-c,b2)，FC=(32a-c,b2)，FBFC=0，则c2-34a2十14b2=0，因为b2=a2-c2，代入得3c2=2a2，由e=ca，可得e2=c2a2=23，可得e=63故答案为6314. 已知F1，F2为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则C的离心率为_ （正确答案）12解：|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，2|F1F2|=|PF1|+|PF2|=2a，即4c=2a，e=ca=12故答案为：12根据等差中项的定义及椭圆的定义列方程即可得出离心率本题考查了椭圆的定义，等差中项的性质，属于基础题15. 椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，上、下顶点分别为B1，B2，右顶点为A，直线AB1与B2F1交于点D.若2|AB1|=3|B1D|，则C的离心率等于_ （正确答案）14解：如图所示，设D(x0,y0)，由2|AB1|=3|B1D|，得：|AB1|AD|=35，根据三角形相似得：aa-x0=35=by0，求得：x0=-23a,y0=53b，又直线B2F1的方程为x-c+y-b=1将点D(-23a,53b)代入，得：-23a-c+53b-b=1,23e=1+53=83，e=2338=14故答案为：14由2|AB1|=3|B1D|，得：|AB1|AD|=35，根据三角形相似得：aa-x0=35=by0，则x0=-23a,y0=53b，代入即可求得e的值本题考查椭圆的离心率，考查三角形的相似的性质，考查数形结合思想的应用，属于中档题16. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)经过点A(3,12)，且点A到椭圆两焦点的距离之和为4，则该椭圆的离心率e= _ （正确答案）32解：根据题意，椭圆上A到椭圆两焦点的距离之和为4，则2a=4，即a=2，又由椭圆x2a2+y2b2=1经过点A(3,12)，则有3a2+14b2=1，又由a=2，解可得b=1，则c=a2-b2=3，则该椭圆的离心率e=ca=32；故答案为：32根据题意，由椭圆的定义分析可得a=2，将点A的坐标代入椭圆方程可得3a2+14b2=1，由a的值解可得b的值，计算可得c的值，由椭圆离心率公式计算可得答案本题考查椭圆的几何性质，要掌握椭圆的定义以及离心率的计算公式三、解答题（本大题共3小题，共30分）17. 已知椭圆E：x2t+y23=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA()当t=4，|AM|=|AN|时，求AMN的面积；()当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围（正确答案）解：()方法一、t=4时，椭圆E的方程为x24+y23=1，A(-2,0)，直线AM的方程为y=k(x+2)，代入椭圆方程，整理可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0，解得x=-2或x=-8k2-63+4k2，则|AM|=1+k2|2-8k2-63+4k2|=1+k2123+4k2，由ANAM，可得|AN|=1+(-1k)2123+4(-1k)2=1+k2123|k|+4|k|，由|AM|=|AN|，k0，可得1+k2123+4k2=1+k2123k+4k，整理可得(k-1)(4k2+k+4)=0，由4k2+k+4=0无实根，可得k=1，即有AMN的面积为12|AM|2=12(1+1123+4)2=14449；方法二、由|AM|=|AN|，可得M，N关于x轴对称，由MANA.可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y=x+2，代入椭圆方程x24+y23=1，可得7x2+16x+4=0，解得x=-2或-27，M(-27,127)，N(-27,-127)，则AMN的面积为12247(-27+2)=14449；()直线AM的方程为y=k(x+t)，代入椭圆方程，可得(3+tk2)x2+2ttk2x+t2k2-3t=0，解得x=-t或x=-ttk2-3t3+tk2，即有|AM|=1+k2|ttk2-3t3+tk2-t|=1+k26t3+tk2，|AN|1+1k26t3+tk2=1+k26t3k+tk，由2|AM|=|AN|，可得21+k26t3+tk2=1+k26t3k+tk，整理得t=6k2-3kk3-2，由椭圆的焦点在x轴上，则t3，即有6k2-3kk3-23，即有(k2+1)(k-2)k3-20，可得32k3，解不等式即可得到所求范围本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题18. 设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12.已知A是抛物线y2=2px(p0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12(I)求椭圆的方程和抛物线的方程；(II)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于A)，直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为62，求直线AP的方程（正确答案）()解：设F的坐标为(-c,0)依题意可得ca=12a=p2a-c=12，解得a=1，c=12，p=2，于是b2=a2-c2=34所以，椭圆的方程为x2+4y23=1，抛物线的方程为y2=4x()解：直线l的方程为x=-1，设直线AP的方程为x=my+1(m0)，联立方程组x=my+1x=-1，解得点P(-1,-2m)，故Q(-1,2m).联立方程组x=my+1x2+4y23=1，消去x，整理得(3m2+4)y2+6my=0，解得y=0，或y=-6m3m2+4B(-3m2+43m2+4,-6m3m2+4).直线BQ的方程为(-6m3m2+4-2m)(x+1)-(-3m2+43m2+4+1)(y-2m)=0，令y=0，解得x=2-3m23m2+2，故D(2-3m23m2+2,0)|AD|=1-2-3m23m2+2=6m23m2+2又APD的面积为62，126m23m2+22|m|=62，整理得3m2-26|m|+2=0，解得|m|=63，m=63直线AP的方程为3x+6y-3=0，或3x-6y-3=0(I)根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；(II)设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题19. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，右焦点为F(1,0)(1)求椭圆的方程；(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OMON，求直线l的方程（正确答案）解：(1)依题意得，c=1，a2=b2+11a=22；(2分) 解得a=2，b=1；椭圆E的标准方程为x22+y2=1；(4分) (2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，不符题意；(5分) 当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k(x-1)；(6分) 由y=k(x-1)x22+y2=1得：1+2k2x2-4k2x+2(k2-1)=0，(8分) x1+x2=4x21+2k2，x1x2=2(k2-1)1+2k2；(10分) y1y2=k2(x1-1)(x2-1)k2x1x2-(x1+x2)+1=-k21+2k2；又OMON，OMON=0；x1x2+y1y2=k2-21+2k2=0，解得k=2，(13分) 直线l的方程为：y=2(x-1).(14分)(1)根据椭圆的几何性质，求出a、b的值即可；(2)讨论直线MN的斜率是否存在，设出MN的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合OMON，OMON=0求出直线的斜率k，即可求出直线l的方程本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆的应用问题，考查了根与系数关系的应用问题，平面向量的应用问题，是综合题
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