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4.2三角函数的图象与性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.三角函数的图象及其变换能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性;了解函数y=Asin(x+)的物理意义;能画出y=Asin(x+)的图象,了解参数A,对函数图象变化的影响掌握2017课标全国,9;2016北京,7;2016课标全国,14;2015湖南,9选择题填空题解答题2.三角函数的性质及其应用理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等).理解正切函数的单调性理解2017课标全国,6;2016课标全国,7;2015课标,8选择题填空题解答题分析解读三角函数的图象和性质一直是高考中的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为1012分,属于中低档题.五年高考考点一三角函数的图象及其变换 1.(2017课标全国,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2答案D2.(2016北京,7,5分)将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s0)个单位长度得到点P.若P位于函数y=sin 2x的图象上,则()A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为答案A3.(2015湖南,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则=()A.B.C.D.答案D4.(2016课标全国,14,5分)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移个单位长度得到.答案5.(2017山东,16,12分)设函数f(x)=sin+sin,其中03.已知f =0.(1)求;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.解析本题考查了y=Asin(x+)的图象和性质.(1)因为f(x)=sin+sin,所以f(x)=sin x-cos x-cos x=sin x-cos x=sin.由题设知f=0,所以-=k,kZ.故=6k+2,kZ,又00)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()A.B.C.D.答案B12.(2013山东,5,5分)将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为()A.B.C.0D.-答案B13.(2013四川,5,5分)函数f(x)=2sin(x+)的部分图象如图所示,则,的值分别是()A.2,-B.2,-C.4,-D.4,答案A14.(2016江苏,9,5分)定义在区间0,3上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是.答案715.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:x+02xAsin(x+)05-50(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求的最小值.解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,=2,=- .数据补全如下表:x+02xAsin(x+)050-50且函数表达式为f(x)=5sin.(2)由(1)知 f(x)=5sin,得g(x)=5sin.因为y=sin x的对称中心为(k,0),kZ.令2x+2-=k,解得x=+-,kZ.由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称,令+-=,解得=-,kZ.由0可知,当k=1时,取得最小值.考点二三角函数的性质及其应用1.(2017课标全国,6,5分)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+)的一个零点为x=D.f(x)在单调递减答案D2.(2016课标全国,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x=-(kZ)B.x=+(kZ)C.x=-(kZ)D.x=+(kZ)答案B3.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关答案B4.(2015课标,8,5分)函数f(x)=cos(x+)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.,kZB.,kZC.,kZD.,kZ答案D5.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(x+)(A,是常数,A0,0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为.答案6.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(xR).(1)求f 的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.(1)由sin=,cos=-,f=-2,得f=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得+2k2x+2k,kZ,解得+kx+k,kZ.所以, f(x)的单调递增区间是(kZ).教师用书专用(716)7.(2016山东,7,5分)函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是()A.B.C.D.2答案B8.(2014陕西,2,5分)函数f(x)=cos的最小正周期是()A.B.C.2D.4答案B9.(2013北京,3,5分)“=”是“曲线y=sin(2x+)过坐标原点”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A10.(2013浙江,4,5分)已知函数f(x)=Acos(x+)(A0,0,R),则“f(x)是奇函数”是“=”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B11.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,单调递减区间是.答案;(kZ)12.(2014上海,1,4分)函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是.答案13.(2016天津,15,13分)已知函数f(x)=4tan xsincos-.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解析(1)f(x)的定义域为.f(x)=4tan xcos xcos-=4sin xcos-=4sin x-=2sin xcos x+2sin2x-=sin 2x+(1-cos 2x)-=sin 2x-cos 2x=2sin.所以, f(x)的最小正周期T=.(2)令z=2x-,易知函数y=2sin z的单调递增区间是,kZ.由-+2k2x-+2k,得-+kx+k,kZ.设A=,B=,易知AB=.所以,当x时, f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.14.(2015重庆,18,12分)已知函数f(x)=sinsin x-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在上的单调性.解析(1)f(x)=sinsin x-cos2x=cos xsin x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin-,因此f(x)的最小正周期为,最大值为.(2)当x时,02x-,从而当02x-,即x时,f(x)单调递增,当2x-,即x时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在上单调递增;在上单调递减.15.(2015山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求ABC面积的最大值.解析(1)由题意知f(x)=-=-=sin 2x-.由-+2k2x+2k,kZ,可得-+kx+k,kZ;由+2k2x+2k,kZ,可得+kx+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ);单调递减区间是(kZ).(2)由f=sin A-=0,得sin A=,由题意知A为锐角,所以cos A=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得1+bc=b2+c22bc,即bc2+,且当b=c时等号成立.因此bcsin A.所以ABC面积的最大值为.16.(2013安徽,16,12分)已知函数f(x)=4cos xsin(0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解析(1)f(x)=4cos xsin=2sin xcos x+2cos2x=(sin 2x+cos 2x)+=2sin+.因为f(x)的最小正周期为,且0,从而有=,故=1.(2)由(1)知, f(x)=2sin+.若0x,则2x+.当2x+,即0x时, f(x)单调递增;当2x+,即x时, f(x)单调递减.综上可知, f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一三角函数的图象及其变换1.(2018四川德阳三校联考,5)将函数f(x)=sin 2x图象上的点保持纵坐标不变,将横坐标缩短为原来的,再将图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象,则g(x)的解析式为() A.g(x)=sinB.g(x)=sinC.g(x)=sinD.g(x)=sin答案C2.(2017河南百校联考,6)已知将函数f(x)=tan(20,0,|0)的图象向右平移个单位得到函数y=g(x)的图象,并且函数g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则实数的值为()A.B.C.2D.答案C5.(2016福建龙岩一模,11)已知函数f(x)=Asin(A0,0)的部分图象如图所示,EFG是边长为2 的等边三角形,为了得到g(x)=Asin x的图象,只需将f(x)的图象() A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案A二、解答题(共20分)6.(2018江苏常州武进期中,15)如图为函数y=f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)图象的一部分,其中点P是图象上的一个最高点,点Q是与点P相邻的与x轴的一个交点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位,再把所得图象上每一点的横坐标都缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的单调递增区间.解析(1)由题图可知A=2,T=4=4,=,故f(x)=2sin.又点P在函数图象上,2sin=2,即+=+2k(kZ),=-+2k(kZ),又|,=-,故f(x)=2sin.(2)由(1)得, f(x)=2sin,把函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位,得到y=2sin的图象,再把所得图象上每一点的横坐标都缩短为原来的(纵坐标不变),得到g(x)=2sin的图象,由2k-2x-2k+(kZ),得k-xk+(kZ),故g(x)的单调递增区间是(kZ).7.(2017山西临汾一中等五校第二次联考,17)已知函数f(x)=2sin xcos x-cos 2x(xR).(1)若f()=且,求cos 2;(2)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(3)记函数f(x)在x上的最大值为b,且函数f(x)在a,b(ab)上单调递增,求实数a的最小值.解析(1)f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin.f()=,sin=,又,2-,cos=-.cos 2=cos=-=-.(2)f (x)=4cos,f (0)=2,又f(0)=-,所求切线方程为y=2x-.(3)当x时,2x-,f(x)1,2,b=2.由-+2k2x-+2k(kZ),得-+kx+k(kZ).又函数f(x)在a,2(a2)上单调递增,a,2,-+2a0,0,00,0)的图象与直线y=a(0a0,|,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,且函数f是偶函数,下列判断正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)的图象关于点对称C.函数f(x)的图象关于直线x=-对称D.函数f(x)在上单调递增答案D
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