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43.2函数的极大值和极小值读教材填要点1极值与极值点(1)极大值点与极大值：设函数yf(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于f(x0)(即f(x)f(x0)，x(a，b)，就说f(x0)是函数yf(x)的一个极大值，x0称为f(x)的一个极大值点(2)极小值点与极小值：设函数yf(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于f(x0)(即f(x)f(x0)，x(a，b)，就说f(x0)是函数yf(x)的一个极小值，x0称为f(x)的一个极小值点极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称为极值点2极大值与极小值的判断(1)如果f(x)在(a，x0上递增，在x0，b)上递减，则f(x)在xx0处取到极大值；(2)如果f(x)在(a，x0上递减，在x0，b)上递增，则f(x)在xx0处取到极小值3极值的求法(1)求导数f(x)；(2)求f(x)的驻点，即求f(x)0的根；(3)检查f(x)在驻点左右的符号，得到极大值或极小值小问题大思维1导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定yf(x)在xx0及附近有定义，且f(x0)0，yf(x)是否在xx0处取得极值，还要看f(x)在x0两侧的符号是否异号例如f(x)x3，由f(x)3x2知f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点2函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f(x)0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f(x)0且f(x)极小值0.即解得a1.即a的取值范围为.利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，在存在极值的情况下，求出极值3已知函数f(x)x33axb(a0)，求函数f(x)的单调区间与极值点解：f(x)3(x2a)(a0)，当a0恒成立，即函数在(，)上单调递增，此时函数没有极值点当a0时，令f(x)0，得x1，x2，当x变化时，f(x)与f(x)的变化如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值因此，函数f(x)的单调递增区间为(，)和(，)，单调递减区间为(，)，此时x是f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点a为何值时，方程x33x2a0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？巧思方程x33x2a0根的个数，即为直线ya和函数f(x)x33x2图象交点的个数，因此可借助函数的单调性和极值画出函数f(x)x33x2的图象，然后借助图象判断根的个数妙解令f(x)x33x2，则f(x)的定义域为R，由f(x)3x26x0，得x0或x2.所以当x0或x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0.函数f(x)在x0处有极大值0，在x2处有极小值4，如图所示，故当a0或a4时，原方程有一个根；当a0或a4时，原方程有两个不等实根；当4a0时，原方程有三个不等实根；由图象可知，原方程不可能无实根1若函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a等于()A2B3C4 D5解析：f(x)3x22ax3，由题意知f(3)0，即3(3)22(3)a30，解得a5.答案：D2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y (1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析：由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值答案：D3若a0，b0，且函数(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2B3C6 D9解析：函数的导数为(x)12x22ax2b，由函数(x)在x1处有极值，可知函数(x)在x1处的导数值为零，即122a2b0，所以ab6.由题意知a，b都是正实数，所以ab229，当且仅当ab3时取到等号答案：D4若函数f(x)x36x2m的极大值为13，则实数m等于_解析：f(x)3x212x3x(x4)由f(x)0，得x0或x4.当x(，0)(4，)时，f(x)0；x(0,4)时，f(x)0，x4时f(x)取到极大值故6496m13，解得m19.答案：195若函数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_解析：由题意，f(x)3x22xa，则f(1)f(1)0，即(1a)(5a)0，解得1a0；当x(2，ln 2)时，f(x)0，即x(0,2)(4，)时，f(x)0，a1.答案：(，1)7函数f(x)ax2bx在x处有极值，则b的值为_解析：f(x)2axb，函数f(x)在x处有极值，f2ab0，即b2.答案：28若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是_解析：f(x)3x26b，若f(x)在(0,1)内有极小值，只需f(0)f(1)0，即6b(36b)0，解得0b.答案：三、解答题9设函数f(x)x2ex1ax3bx2，已知x2和x1为f(x)的极值点(1)求a和b的值；(2)讨论f(x)的单调性解：(1)f(x)ex1(2xx2)3ax22bxxex1(x2)x(3ax2b)，因为x2和x1是f(x)的极值点，所以f(2)f(1)0，即解方程组得(2)因为a，b1，所以f(x)x(x2)(ex11)令f(x)0，解得x12，x20，x31.因为当x(，2)(0,1)时，f(x)0，所以f(x)在(2,0)，(1，)上单调递增；在(，2)，(0,1)上单调递减10设函数f(x)x3bx2cxd(a0)，且方程f(x)9x0的两个根分别为1,4.(1)当a3且曲线yf(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(，)内无极值点，求a的取值范围解：由f(x)x3bx2cxd，得f(x)ax22bxc.因为f(x)9xax22bxc9x0的两个根分别为1,4，所以(*)(1)当a3时，由(*)式得解得b3，c12.又因为曲线yf(x)过原点，所以d0，故f(x)x33x212x.(2)由于a0，所以“f(x)x3bx2cxd在(，)内无极值点”等价于“f(x)ax22bxc0在(，)内恒成立”由(*)式得2b95a，c4a.又(2b)24ac9(a1)(a9)解得a1,9即a的取值范围是1,9
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