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专题6 分段函数【典例解析】1.（必修1第45页复习参考题B组第4题）已知函数求，的值.【解析】; ;当时，当时，.【反思回顾】（1）知识反思；函数及分段函数的概念，函数求值；（2）解题反思；应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论.体现分类思想。【知识背囊】1有些函数在其定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式（注意分段函数是一个函数，而不是几个函数）；2分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象分段函数是一个函数，只有一个图象，作图时只能将各段函数图象画在同一坐标系中，而不能将它们分别画在不同的坐标系中3（1）分段函数的定义域：一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式（2）分段函数的值域：求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集（3）分段函数求值：首先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段函数的解析式中求值，直到求出值为止当出现的形式时，应从内到外依次求值（4）对于分段函数应用题，尤其是求最值问题，不仅要分段考虑，最后还要再将各段综合起来进行比较要注意分段函数值域是各段上函数值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的【变式训练】变式1. 若，则（ ）A2B3C4D5【答案】C【解析】20，故选C变式2. 设函数，若，则实数（ ） A4或2 B4或2 C2或4 D2或2【答案】B【解析】由知，（舍去），即或，选.变式3.已知f（x）=使f（x）1成立的x的取值范围是（ ）A4，2）B4，2C（0，2D（4，2【答案】B变式4.已知是上的减函数，那么a的取值范围是( )A(0,1) B. C. D.【答案】C【解析】据题意要使原函数在定义域R上为减函数，要满足3a10，且0a1，及x1时(3a1)14aloga1，解得a的取值范围为，故选C.反思：在研究函数的单调性时，应注意以下两方面的问题：一是必须在定义域的范围内研究单调性，超出了定义域范围的单调区间是没有意义的.变式5.已知函数是奇函数，则方程的根为（）A B C. ， D，【答案】B 【解析】因为函数为上的奇函数，所以，即，解得.所以.方程，即.当时，有，整理得，解得.综上，方程的根为，故选B.变式6. 设函数是定义在上的奇函数，且，则 【答案】【解析】由分段函数的解析式可知： .变式7.已知函数 ，若 ，则 【答案】【解析】当 即时， （舍）；当 即时， 。【高考链接】1.【2015高考新课标2理5】设函数,( )A3 B6 C9 D12【答案】C【解析】由已知得，又，所以，故，故选C2.【2017山东文9】设,若,则 （ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.3.【2014上海理18】若是的最小值，则的取值范围为（ ）. (A)-1,2 (B)-1，0 (C)1，2 (D) 【答案】D【解析】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D4.【2015高考湖北理6】已知符号函数 是上的增函数，则（ ） A B C D【答案】B【解析】因为是上的增函数，令，所以，因为，所以是上的减函数，由符号函数 知，.5.【2014福建理7】已知函数则下列结论正确的是（ ）A. 是偶函数 B. 是增函数 C.是周期函数 D.的值域为【答案】D【解析】由于分段函数的左右两边的函数图象不关于y轴对称，所以A不正确.由于图象左边不单调,所以B不正确.由于图象x0部分的图象不是没有周期性，所以C不正确.故选D.6.【2015高考山东理10】设函数则满足的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】C【解析】当 时， ，所以， ，即符合题意.当 时， ,若 ，则 ，即： ，所以 适合题意综上， 的取值范围是 ,故选C.7.【2014四川理12】设是定义在R上的周期为2的函数，当时，则 .【答案】1【解析】.8.【2014年安徽卷】若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则.【答案】【解析】本题考查函数的周期性和奇偶性.因为周期是4，且在上的解析式为，所以.9【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上， 则的值为_【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果；由得函数的周期为4，所以因此10.【2015高考浙江理10】已知函数，则 ，的最小值是 【答案】，.【解析】，当时，当且仅当时，等号成立，当时，当且仅当时，等号成立，故最小值为.11.【2014上海理4】设若，则的取值范围为_.【答案】【解析】由题意，若，则不合题意，因此，此时时，满足.12.【2014年浙江卷理15】设函数若，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意，或，解得，当或，解得，解得13.【2016高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中 若 ，则的值是 .【答案】【解析】，因此14.【2015高考福建，理14】若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是 【答案】【解析】当，故，要使得函数的值域为，只需（）的值域包含于，故，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是15.【2017课标3理15】设函数则满足的x的取值范围是_.【答案】【解析】：令 ，当时，当时，当时，写成分段函数的形式：，函数 在区间 三段区间内均单调递增，且： ，据此x的取值范围是： .16.【2016年高考北京理数】设函数.若，则的最大值为_；若无最大值，则实数的取值范围是_.【答案】，.【解析】如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，知是函数的极大值点，当时，因此的最大值是；由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，因此无最大值，所求的范围是，故填：，
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